分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから，ともに控えめな有理数である．$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して，集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を，
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．

(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．