$a$を正の実数とし，関数$y=x^2+a$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$において$C$に接線$\ell$をひき，$\ell$と$y=x^2$のグラフの交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを証明せよ．

$a$を正の実数とする．$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ a)$があり，点$\mathrm{Q}$は放物線$C:y=x^2$上を動く．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最小値を$a$で表せ．また，その最小値を与える点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$a=5$の時，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を最小にする点$\mathrm{Q}$は$2$つある．これらの点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とし，その交点を$\mathrm{R}$とする．$\ell_1$，$\ell_2$の方程式と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

楕円$\displaystyle A:\frac{x^2}{4}+y^2=1$を原点を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$回転させて得た楕円を$B$とする．この回転により，点$\displaystyle \left( -\sqrt{3},\ \frac{1}{2} \right)$を接点とする$A$の接線$y=[　]$は，$B$に対する接線$y=[　]$に移される．

$f(x)=8x-x^2$とする．

(1)$\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{2}=f^\prime(c)$をみたす$c$を求めよ．
(2)$xy$平面において，$(1)$で求めた$c$について，点$(c,\ f(c))$における曲線$y=f(x)$の接線，曲線$y=f(x)$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$は実数の定数とする．円$x^2+y^2-ax-2y=0$上の点$(4,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)この円の中心の座標と半径を求めよ．
(3)接線$\ell$の傾きを求めよ．
(4)接線$\ell$の方程式を求めよ．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(3)$2$つの平面ベクトルを$\overrightarrow{a}=(3,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 2)$とする．$s,\ t$が$s+t=3 (0 \leqq s \leqq 3)$をみたすとき，ベクトル$s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさの最大値は$[　]$，最小値は$[　]$である．
(4)$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+3 \cos^2 x$を$\sin 2x$と$\cos 2x$の式で表すと$y=[　]$となり，$0 \leqq x \leqq \pi$における$y$の値の範囲は$[　]$である．
(5)ある粒子を$1$枚で$50 \, \%$遮断できる繊維がある．この繊維を少なくとも$[　]$枚重ねれば，この粒子を$99 \, \%$以上遮断できる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(6)$\displaystyle S_n=\frac{\left( \sum_{k=1}^n k \right)^2}{\sum_{k=1}^n k^2}$のとき，$S_3=[　]$であり，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}=[　]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2y^2+xy+5x+y+6$を因数分解すると$[　]$となる．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x^2-2x-3<0 \\
x^2+3x+1>0
\end{array} \right.$をみたす$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2ax-a^2+1=0$が実数解をもたないような実数$a$の範囲は$[　]$である．
(4)初速$v \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$で地上から真上に投げたボールの$x$秒後の高さ$y \; \mathrm{m}$は，$y=vx-5x^2$で表されるものとする．地上から真上に投げたボールが$3$秒後に最高点に達したとすると，ボールの初速は$[　] \; \mathrm{m} \, / \, \text{秒}$であり，最高点の高さは$[　] \; \mathrm{m}$である．
(5)$4$桁の自然数で各位の数字がすべて異なるものは全部で$[　]$個あり，そのうち，$1234$より大きいものは全部で$[　]$個である．
(6)平面上に半径$1$と半径$2$の円がある．共通接線がちょうど$3$本引けるとき，この$3$本の接線によって囲まれる三角形の面積は$[　]$である．
(7)$\mathrm{A}$君は$3$校の大学を受験し，合格する確率はすべて等しく$\displaystyle \frac{1}{2}$であるという．$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$校に合格する確率は$[　]$である．また，合格した大学には$1$校につき$30$万円の入学金を支払うとすると，支払う入学金の期待値は$[　]$円である．

$a$を実数（ただし，$a$は$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$にも，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$にも等しくない）とする．$a_1=a$とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P}_n \left( a_n,\ \frac{1}{2} a_n^2 \right)$における$C$の接線を$\ell_n$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\ \frac{1}{2} a_{n+1}^2 \right)$における$C$の接線$\ell_{n+1}$の傾きは，$\mathrm{P}_n$を中心として$\ell_n$を正の向きに$60^\circ$回転した直線の傾きに等しい．

(1)$a_2$を$a$の式で表せ．
(2)$a_3$を$a$の式で表せ．
(3)$a_4$を$a$の式で表せ．
(4)$a_{14}$を$a$の式で表せ．

$a$を正の実数とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{\sqrt{x}}$上の点$\displaystyle \left( a^2,\ \frac{1}{a} \right)$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$b$とする．

(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

放物線$y=x^2+1$を$C_1$，放物線$y=-x^2+6x-8$を$C_2$として次の問いに答えよ．

(1)点$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ [　] \right)$に関して，$C_1$と$C_2$は対称である．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$つの接線のうち，$x$軸と交わらない方を$\ell_1$，$x$軸と交わる方を$\ell_2$とすると，$\ell_1$の方程式は$y=[　]$，$\ell_2$の方程式は$y=[　] x-[　]$である．
(3)$C_1$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．