$a$は定数で，$a>1$とする．座標平面において，

円 \quad $C:x^2+y^2=1$
直線 \ $\ell:x=a$

とする．
$\ell$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$は，点$\mathrm{P}$によらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

座標平面上に

円$C:x^2+y^2=10$
直線$\ell:y=-x+4$

があり，円$C$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$とする．ただし，$x_1>x_2$とする．

(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とおく．$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．また，$\ell_1$，$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と直線$\ell$の距離$d$を求めよ．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を求めよ．

曲線$y=2e^{x-1}$と曲線$C:y=2 \log ax$は点$(b,\ c)$のみで接し，接線を共有する．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とし，$b \geqq 1$とする．また，$e$は自然対数の底とする．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．

曲線$y=9-x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-3,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ 9-t^2)$をとる．次の問いに答えよ．ただし，$-3<t<3$とする．

(1)$\mathrm{P}$から$x$軸に垂線$\mathrm{PQ}$をおろすとき，$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線と原点との距離が$3$であるとき，$t$の値を求めよ．

$2$つの曲線$y=e \log x$，$y=ax^2$が共有点を持ち，その共有点における接線が一致するとき以下の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とする．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$a$を正の実数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(1,\ a)$における$C$の接線と$\mathrm{P}$で垂直に交わる直線を$\ell$とする．$x \geqq 0$の領域で，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$x$軸，$C$および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$S_1$を$a$で表せ．
(3)$S_1$が最小値をとるとき，$S_2$の値を求めよ．

$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,\ -3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とする．

(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．

座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり，$C$上に点$\mathrm{P}(a,\ e^{-a})$がある．ただし$a \geqq 0$とする．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．