次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[　]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[　]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[　]$．

関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．

(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．

曲線$C:y=e^{-\frac{1}{2}x^2}$について以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい．
(2)(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}(2,\ \log 2)$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とおく．曲線$y=f(x)$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通り，さらにこの2点での接線がそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$と一致する．このときの$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$f(x)$に対して$g(x)=f(x)-\log x$とおく．関数$y=g(x) \ (1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を与える$x$の値を求めよ．ただし$0.69<\log 2<0.70$であることを用いてよい．

3次関数$f(x)=x^3-3ax^2 \ (a>0)$と，曲線$C:y=f(x) \ (-\infty<x<\infty)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の変曲点における接線の式を求めよ．
(2)曲線$C$はこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3)$b,\ c$は実数とする．3次方程式$x^3-3ax^2=bx-c$が3つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，$c$を$a,\ b$の式で表せ．
(4)(3)において，等差数列の公差が$2 \sqrt{3}$に等しいとする．このとき，3次関数$f(x)-bx+c$の極値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点，点$\mathrm{P}$を楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{(y-3)^2}{25}=1$上の点とする．$x$軸の正の部分を始線として動径$\mathrm{OP}$の表す角を$\theta \ (0 \leqq \theta<2\pi)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$\displaystyle \frac{a+b \sin \theta}{c+d \sin \theta}$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数）の形で表せ．
(2)点$\mathrm{P}$における楕円の接線を$\ell$とする．直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点$\mathrm{A}$の座標を$(0,\ 6)$とする．点$\mathrm{A}$を(2)の直線$\ell$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

関数$y=x^3-3x^2+3$について，次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフに点$(3,\ -1)$から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，その$x$座標が最小のものを$\mathrm{A}$，最大のものを$\mathrm{B}$とする．2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点を$\mathrm{P}(s,\ s^3-3s^2+3)$とする．ただし，$2-\sqrt{3}<s<2+\sqrt{3}$である．このとき，点$\mathrm{P}$と(2)で求めた直線との距離$d$を$s$で表し，$d$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)$n \geqq 2$であるような自然数$n$に対して
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+\cdots +(n-1) \cdot n \cdot (n+1)=(1+2+3+\cdots +n)(2+3+\cdots +n) \]
が成り立つことを示せ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}} \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの整数がひとつずつ書かれた$9$個の玉が入っている袋の中から玉を$3$個取り出す．取り出した玉に書かれた整数の和が$12$以上となる確率を求めよ．
(2)円$x^2+y^2=1$と放物線$y=x^2+5$との共通の接線のうち，円と第$1$象限で接する接線の方程式を求めよ．
(3)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=5$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3$である．$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積とする．

曲線$C:y=x^3-x^2$と放物線$D:y=3x^2+px+q$が共有点$(a,\ a^3-a^2)$で共通の接線を持つとする．

(1)$C$と$D$のすべての共有点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$D$は$x$軸と共有点を持つことを示せ．また，$D$と$x$軸が接するような$a$の値を求めよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x$軸と$D$で囲まれた図形のうち$x \leqq a$の部分の面積を求めよ．