$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．

下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点P$(s,\ t) \ (t>2)$から，円$x^2+(y-1)^2=1$に引いた2本の接線と$x$軸の交点をそれぞれQ$(\alpha,\ 0)$，R$(\beta,\ 0) \ (\alpha>\beta)$とする．点Pの$y$座標$t$を固定して$x$座標$s$を変化させるとき，$\alpha-\beta$の最小値を求めよ．
(2)半径1の円に外接する三角形の3辺の長さの和の最小値を求めよ．

$xy$平面上に直線$\ell:y=x+2$と曲線$C:y=1-x^2$がある．直線$\ell$上を動く点Pから曲線$C$に異なる2本の接線を引き，接点をQ，Rとする．線分QRの中点をMとするとき，次の問いに答えよ．

(1)点Pの$x$座標を$t$とし，2点Q，Rの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=2t$および$\alpha\beta=-(t+1)$を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．
(3)点Mの軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

放物線$y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{A}$とする．$\triangle \mathrm{PQA}$において$\angle \mathrm{A}=90^\circ,\ \angle \mathrm{P}=60^\circ,\ \angle \mathrm{Q}=30^\circ$となるとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

曲線$y=-x^2$を$C_1$とし，点$(1,\ -1)$での$C_1$の接線を$\ell$とする．また，点$(0,\ 2)$と点$(1,\ -1)$を通り，点$(1,\ -1)$での接線が$\ell$となる曲線$y=ax^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)正の定数$k$について，直線$y=-kx$と$C_1$で囲まれた部分の面積と，直線$y=-kx$と$C_2$で囲まれた部分の面積が等しいとき，$k$の値を求めよ．

曲線$C:y =(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$C$上の点$(t,\ (t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．
(3)$a$を正の定数とするとき，点$(a,\ 0)$を通る法線の本数を調べよ．

$e$は自然対数の底，$a,\ b,\ c$は実数である．放物線$y=ax^2+b$を$C_1$とし，曲線$y=c \log x$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点P$(e,\ e)$で接しているとき，次の問いに答えよ．ここで，2つの曲線が点Pで接しているとは，ともに点Pを通り，かつ，その点における接線が一致していることである．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上に，点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ$x$軸，$y$軸に平行であり，それぞれの長さは$4,\ 2$である．このとき，以下の問に答えよ．

(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．