「接線」について
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国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第4問$k$を実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線$C:y=\log x -k$について，$C$の接線のうちOを通るものを$\ell_1$とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第2問曲線$C_1:y=x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線が曲線$C_2:y=x^2-4$と交わる点をB，Cとする．ただし，Bの$x$座標はCの$x$座標より小さいとする．以下の問いに答えよ．
(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第4問曲線$C:y=e^x$上の点P$(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点をQとする．さらに，Qを通り$\ell$に直交する直線と$C$との交点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第5問$k$を定数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^2+4x+k,\quad g(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
によって定める．$g(x)$が$x=2$で極値を持つとき，以下の問いに答えよ．
(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$g(x)$の極値をすべて求めよ．
(3)$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線$\ell$と，曲線$y=g(x)$上の点$(a,\ g(a))$における接線$m$が平行になるとき，$a$の値と接線$\ell,\ m$の方程式をそれぞれ求めよ．
\[ f(x)=x^2+4x+k,\quad g(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
によって定める．$g(x)$が$x=2$で極値を持つとき，以下の問いに答えよ．
(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$g(x)$の極値をすべて求めよ．
(3)$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線$\ell$と，曲線$y=g(x)$上の点$(a,\ g(a))$における接線$m$が平行になるとき，$a$の値と接線$\ell,\ m$の方程式をそれぞれ求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第4問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第3問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第3問曲線$C$を$y=e^x$とする．$C$上の点A$_0(0,\ 1)$における接線と$x$軸の交点をB$_1(b_1,\ 0)$とし，$C$上の点A$_1(b_1,\ e^{b_1})$における接線と$x$軸の交点をB$_2(b_2,\ 0)$とする．これをくりかえし，$C$上の点A$_n(b_n,\ e^{b_n})$における接線と$x$軸の交点をB$_{n+1}(b_{n+1},\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．
(3)$\triangle$B$_n$A$_n$B$_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty S_n$を求めよ．ただし，B$_0$は原点とする．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の点$(a,\ b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の点$(a,\ b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．