「接線」について
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国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第4問3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第2問$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．
(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．
国立 香川大学 2010年 第4問3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．
このとき，次の問に答えよ．
(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
国立 岐阜大学 2010年 第4問$xy$平面上で曲線$C:y=\log x$を考える．$p$を正の実数とし，$C$上の点$(p,\ \log p)$における接線を$\ell_p$で表す．以下の問に答えよ．
(1)接線$\ell_p$の方程式を求めよ．
(2)$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$\ell_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)$0<p<1$とする．接線$\ell_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．
(1)接線$\ell_p$の方程式を求めよ．
(2)$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$\ell_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)$0<p<1$とする．接線$\ell_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．
国立 奈良女子大学 2010年 第6問原点を中心とする半径2の円を$C$とする．$a$を実数とし，点$(a,\ 4)$から円$C$へ2本の接線を引き，その接点をP$_1$，P$_2$とする．P$_1$，P$_2$を通る直線が$a$の値にかかわらず定点を通ることを示せ．また，その定点の座標を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第3問$y=\sin 2x+\cos x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2010年 第4問$\displaystyle y=\sin 2x-x+\frac{\pi}{2}$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第5問座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．