点Q，Rを$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の相異なる点とする．

(1)$q<p^2$を満たす実数$p,\ q$に対して，点P$(p,\ q)$を考える．Q，Rにおける$C$の2本の接線がともにPを通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p,\ q$を用いて表わせ．
(2)(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線QRと$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$xy$平面において$y=x^2$で表される放物線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$を通る直線で，点$\mathrm{T}$における$C$の接線と直交するものを，点$\mathrm{T}$における$C$への垂線と呼ぶことにする．以下の問に答えなさい．

(1)点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．
(2)点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -12,\ \frac{15}{2} \right)$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,\ q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p,\ q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．

$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$，$C_2:y=2x \log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．

(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．

(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．

$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．

放物線$C : y = x^2$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点P$(a,\ a^2)$を通り，Pにおける$C$の接線に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$を(1)で求めた直線とする．$a \neq 0$のとき，直線$x = a$を$\ell$に関して対称に折り返して得られる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線$m$は$a$の値によらず定点Fを通ることを示し，Fの座標を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．曲線$C : y = x^3 −a^2x+a^3$と点$\mathrm{P}(b,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$から曲線$C$に接線がちょうど$3$本引けるような点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$から曲線$C$に接線がちょうど$2$本引けるとする．$2$つの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$としたとき，$\angle \mathrm{APB}$が$90^\circ$より小さくなるための$a$と$b$の条件を求めよ．

曲線$C : y = -x^2-1$を考える．

(1)$t$が実数全体を動くとき，曲線$C$上の点$(t,\ -t^2-1)$を頂点とする放物線
\[ y =\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1 \]
が通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$D$を(1)で求めた領域の境界とする．$D$が$x$軸の正の部分と交わる点を$(a,\ 0)$とし，$x = a$での$C$の接線を$\ell$とする．$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を正の実数とする．放物線$P:y = x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点Aを通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と放物線$P$との交点のうちAではない方をB$(b,\ b^2)$とする．さらに，点Bを通り$\ell_1$に平行な直線を$\ell_3$とし，$\ell_3$と放物線$P$との交点のうちBではない方をC$(c,\ c^2)$とする．

(1)$b+c = 2a$であることを示せ．
(2)放物線$P$と$\ell_3$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表し，$S$が最小になるときの$S$と$a$の値を求めよ．