「接線」について
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私立 青山学院大学 2011年 第5問曲線$y=e^{-x}$上の点$(1,\ e^{-1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_1,\ 0)$とする．次に，$y=e^{-x}$上の点$(a_1,\ e^{-a_1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_2,\ 0)$とする．以下，同様に$a_n (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を定める．次の問に答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)曲線上の点$(a_n,\ e^{-a_n})$における接線と，直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)曲線上の点$(a_n,\ e^{-a_n})$における接線と，直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．
私立 青山学院大学 2011年 第4問実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．
公立 大阪市立大学 2011年 第1問座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は$p^2 +q^2 > 1$をみたすものとする．$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき，その接点を$\mathrm{T}(s,\ t)$とする．$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として，$D$は点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．
(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．
公立 高崎経済大学 2011年 第3問放物線$y=-(x-2)^2+1$上に点Pがある．点Pの$x$座標を$a$とし，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$とする．以下の問に答えよ．
(1)放物線上の点Pにおける接線の方程式を求めよ．
(2)点Pから$y$軸に下ろした垂線の足を点Qとする．また，(1)で求めた接線と$y$軸の交点を点Rとする．$\triangle$PQRの面積$S$を$a$で表せ．点Pから$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点のことである．
(3)(2)で求めた面積$S$が最大になるときの$a$の値とその面積を求めよ．
(1)放物線上の点Pにおける接線の方程式を求めよ．
(2)点Pから$y$軸に下ろした垂線の足を点Qとする．また，(1)で求めた接線と$y$軸の交点を点Rとする．$\triangle$PQRの面積$S$を$a$で表せ．点Pから$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点のことである．
(3)(2)で求めた面積$S$が最大になるときの$a$の値とその面積を求めよ．
公立 岡山県立大学 2011年 第3問$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-a)^2$と曲線$y=e^x$の共有点$\mathrm{P}(s,\ t)$において$2$曲線の接線が一致するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq a$のとき$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{e^x}$の最大値を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq a$のとき$\displaystyle \frac{(x-a)^2}{e^x}$の最大値を求めよ．
公立 京都府立大学 2011年 第3問曲線$y=x^3-2x^2-x+2$を$C$とする．$f(x)=x^3-2x^2-x+2$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第1問放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$を通り，放物線のこの点における接線に垂直な直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第2問放物線$C:y=x^2$の点A$(a,\ a^2) \ (a>0)$における法線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
(1)直線$\ell$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の2つの交点をA，Bとする．点A，Bにおける$C$の接線の交点Pの座標を求めよ．
公立 愛知県立大学 2011年 第2問方程式$y=-x^2+2x+8$で表される放物線を$C_1$とする．放物線$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の内部にある円で，放物線$C_1$と$x$軸に$3$点で接するものを$C_2$とする．放物線$C_1$と$x$軸との$2$つの交点，および放物線$C_1$の頂点を通る円を$C_3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)円$C_3$の面積が円$C_2$の面積の何倍になるか求めよ．
(3)放物線$C_1$の頂点を通り，円$C_2$に接する$2$つの接線の方程式を求めよ．
(1)円$C_2$の方程式を求めよ．
(2)円$C_3$の面積が円$C_2$の面積の何倍になるか求めよ．
(3)放物線$C_1$の頂点を通り，円$C_2$に接する$2$つの接線の方程式を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2011年 第1問放物線$C_1:y=x^2-4x+a$と曲線$C_2:y=6 \log x$とが点Pで接している．ただし，$a$は実数とする．
(1)$a$の値，およびPの座標を求めよ．
(2)Pにおける$C_1,\ C_2$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$，$x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値，およびPの座標を求めよ．
(2)Pにおける$C_1,\ C_2$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$，$x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．