$3$次関数$f(x)=x^3+3x^2-9x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を調べ，グラフをかけ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と，点$(a+2,\ f(a+2))$における接線が，平行であるような$a$の値を求めよ．また，このときの点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-20x+16$について，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線のうち，原点を通るものを求めよ．
(4)$y=f(x)$の接線で，$(3)$で求めた接線と傾きの等しいものが，もう$1$つある．その接線の方程式を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$および線分$\mathrm{QR}$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$に，この円の外にある点$\mathrm{P}$から$2$本の接線をひき，それらのなす角のうち$C$を挟むものの大きさを$\theta$とする．さらに，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}$を$r$を用いて表せ．

(2)$\cos \theta$を$r$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(4)$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積を求めよ．
（図は省略）

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx-2$が$x=-1$で極大値$-1$をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．また，極小値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフ上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$2x-5 \leqq -x+10$の解は$[$1$]$である．
(2)整式$f(x)$を$x+2$で割ると余りは$-3$，$x-3$で割ると余りは$1$，$x+4$で割ると余りは$2$である．このとき，整式$f(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ると余りは$[$2$]$，$(x-3)(x+4)$で割ると余りは$[$3$]$である．
(3)$2$次不等式$\displaystyle x^2+3x-\frac{3}{4} \leqq 1$の解は$[$4$]$であり，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-\displaystyle \frac{3}{4} \leqq 1 \\
-x^2+4>0 \phantom{\displaystyle \Biggl( \frac{1}{2} \Biggr)}
\end{array} \right. \]
の解は$[$5$]$である．
(4)放物線$y=-x^2+2x+1$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ 1)$における接線を$\ell$とすると，直線$\ell$の方程式は$[$6$]$である．また，直線$\ell$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[$7$]$である．
(5)$16$本のくじの中に，当たりくじが$4$本ある．このくじを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がこの順に，$1$本ずつ$1$回だけ引き，引いたくじはもとに戻さないものとするとき，$\mathrm{A}$の当たる確率は$[$8$]$となり，$\mathrm{B}$の当たる確率は$[$9$]$となる．
(6)$x$についての不等式$\log_a(3x^2-x-2)>\log_a(x^2+5x-6)$の解は，$a>1$のとき$[$10$]$であり，$0<a<1$のとき$[$11$]$である．

関数$f(x)=-x^2+4x-3$と$g(x)=kx-3$がある．ただし，$k$は定数で，$k<4$とする．また，座標平面上の放物線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標を，$a_1,\ a_2$とし（ただし，$a_1<a_2$とする），放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の共有点の$x$座標を$b_1,\ b_2$とする（ただし，$b_1<b_2$とする）．以下の問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$の値を求めよ．
(2)点$(0,\ f(0))$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)次の図形の面積を求めよ．

\mon[$①$] 放物線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形
\mon[$②$] 放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$とで囲まれる図形

(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ ① \int_{b_1}^{a_2} f(x) \, dx \qquad ② \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx \]
(5)$\displaystyle \int_{b_2}^{a_2} f(x) \, dx=\frac{2}{3}$となるような$k$の値をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$y=3 \cos x$のグラフ上の$1$点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{6},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$における接線に平行な単位ベクトルを$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$，垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$とすると，$(a_1,\ a_2)=[　]$，$(b_1,\ b_2)=[　]$である．
(2)$a_1>0$，$\sqrt{13}(a_1,\ a_2)=(A_1,\ A_2)$とおくとき，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
A_1+2 & A_2-2 \\
A_1 & A_2
\end{array} \right)$に対し，連立方程式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=m \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が$(x,\ y)=(0,\ 0)$以外の解をもつとき，定数$m$の値は$[　]$である．次に行列$A$で表される$1$次変換によって，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が同じ向きになったという．ただし点$\mathrm{O}(0,\ 0)$であり，$x \neq 0$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる定数$k$の値は$[　]$である．さらにこのとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=[　]$である．

$f(x)=x(1-\log x) (x>0)$とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$である．
(2)$xy$平面において，曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．