$a,\ b$は$a \neq b$を満たす定数とする．座標平面上に放物線$C_1$が$y=x^2+ax+b$で与えられ，放物線$C_2$が$y=x^2+bx+a$で与えられている．$C_1$上の点$\mathrm{P}(0,\ b)$での$C_1$の接線は，$C_2$上の点$\mathrm{Q}$で$C_2$に接しているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(4)放物線$C_1$，$C_2$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積$A$を求めよ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{S}$を三角形$\mathrm{PRS}$の面積が$(4)$で求めた面積$A$と一致するようにとる．$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．

座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2)$（ただし$a<b$）を考える．$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする．$2$直線$\ell$，$m$の交点を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと，
\[ x=\frac{[ク]}{[ケ]}a+\frac{[コ]}{[サ]}b,\quad y=[シ]ab \]
である．
(2)$\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ス]x+[セ]y-1=0 \]
を満たす．
(3)$\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ソ]x^2+[タ] \left( y+\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^2+1=0 \]
を満たし，$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は
\[ \frac{[テ]}{[ト]}+\frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]} \]
である．

関数$y=-x^2+2x+2$のグラフに点$\mathrm{A}(0,\ a)$から$2$本の異なる接線が引けるとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$y$座標$a$が満たす条件を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線の式と接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$2$本の接線が直交するときの$a$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線と放物線で囲まれる図形を$y$軸で$2$つに分割したとき，右側の図形の面積を$S$とする．$(3)$で求めた$a$の値に対して$S$の面積を求めよ．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$を$\mathrm{A}$とし，点$\mathrm{A}$における放物線の接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．また，$x$軸上の点$(a,\ 0)$の直線$\ell$について対称な点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$m$とする．このとき，次の問$(1)$～$(4)$に答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とし，また，直線$m$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\gamma$とする．$\gamma$を$\theta$と$\pi$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)直線$m$の傾き$\tan \gamma$を$\tan \theta$で表せ．
(3)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)直線$m$が，$a$の値によらず，必ず通過する点の座標を求めよ．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，放物線$F:y=x^2+1$および，点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある．$F$上に点$\mathrm{P}(t,\ t^2+1)$，$C$上に点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．

(1)$\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ツ]}{[テ]} \frac{b}{a}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと
\[ \frac{1}{8} \left( [ト]a+\frac{[ナ]}{a}+[ニ] \right) \]
である．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]}$で最小値
\[ \frac{[ハ]}{[ヒ]}+\frac{[フ]}{[ヘ]} \sqrt{[ホ]} \]
をとる．

$3$次関数$y=x^3$のグラフの接線で，放物線$\displaystyle y=-\left( x-\frac{4}{9} \right)^2$にも接するものをすべて求めよ．

$m$は正の実数である．放物線$C_1:y=x^2+m^2$上の点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と放物線$C_2:y=x^2$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間の点$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{AQ}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積と，直線$\mathrm{QB}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積の和を$S$とする．$\mathrm{Q}$が$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間を動くときの$S$の最小値は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを示し，その値を$m$を用いて表せ．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

曲線$y=e^x$を$C$とする．点$\mathrm{Q}_1$を$x$軸上に取る．点$\mathrm{Q}_1$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_1$とする．$\ell_1$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_1$とする．点$\mathrm{P}_1$における$C$の接線を$\ell_1^\prime$とする．$\ell_1^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_2$とする．点$\mathrm{P}_2$における$C$の接線を$\ell_2^\prime$とする．$\ell_2^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_3$とする．これを続けて，$C$上の点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$，$\mathrm{Q}_n$，$\cdots$を決める．$\mathrm{P}_1$の座標を$(a,\ e^a)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と直線$\ell_n^\prime$および$\ell_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$s_n$とするとき，無限級数$s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots$の和を求めよ．