次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．

関数$f(t)$は$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$において微分可能で$f(t)>0$かつ$f^\prime(t)>0$をみたすとする．また$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)=2$とする．
媒介変数表示$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
x=f(t) \cos t \\
y=f(t) \sin t
\end{array} \right. \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(f(t) \cos t,\ f(t) \sin t)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{A}(a(t),\ 0)$とすれば
\[ a(t)=\frac{(f(t))^2}{f^\prime(t) [ア]+f(t) [イ]} \]
となる．$\mathrm{O}$を原点とするとき，すべての$t$に対し$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$であれば$f$は
\[ f^\prime(t) [ア]+f(t) [ウ]=0 \]
をみたす．この式の両辺に$\cos t+1$をかけて整理すると
\[ \frac{d}{dt} \left( f(t) [エ] \right)=0 \]
となり，
\[ f(t)=[オ] [エ]^{-1} \]
が得られる．

次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．

$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）

正の実数$a,\ b$について，座標平面上に$2$つの円$C_1:x^2+y^2-8x-20y+91=0$，$C_2:x^2+y^2+4x-4y+8-a=0$と放物線$D:y=b(x-4)^2-2$を考える．

(1)$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$を除いて$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$C_1$と$D$が異なる$2$点のみを共有するとき，$b$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(-p,\ p^2)$，$\mathrm{R}(-p,\ p^2+2p)$，$\mathrm{S}(p,\ p^2+2p)$がある．また，$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2$，$x=p$で極大値$p^2+2p$をとる．ただし，$p>0$とする．

(1)$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．

座標平面上に，放物線$C:y=x^2-2x+1$と点$\mathrm{A}(1,\ -1)$がある．$\mathrm{A}$を通る$C$の接線のうち，傾きが負のものを$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{5}{4},\ \frac{1}{16} \right)$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C$，$\ell$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．
(3)$\ell$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(4)$\ell$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^{a(x+2)}}{a} (a>0)$と原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた接線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$を最小にする$a$の値と$S$の最小値を求めよ．

図のように，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．点$\mathrm{A}$は第$3$象限にあり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$は$y$軸に関して対称である．また，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}$における円$C$の接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る放物線のうち，点$\mathrm{A}$における接線が$\ell$と一致するようなものの方程式を求めなさい．

空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，


$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$

$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$


である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．

オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$0$以上の実数$t$に対して，$x$座標が$t$である点における$C_1$の接線を$\ell_1$，$x$座標が$t$である点における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．$0$以上の実数$t$を変化させるとき，$S(t)$の最大値を求めよ．また最大値を与える$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S(t)$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^2 S(t) \, dt$の値を求めよ．

実数$k$に対し，円$C:x^2+y^2+(k-1)x-ky-1=0$を考える．

(1)円$C$の半径が最も小さくなるのは$\displaystyle k=\frac{[キ]}{[ク]}$のときであり，その半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(2)円$C$の中心の軌跡は
\[ [シ]x+[ス]y+1=0 \]
である．
(3)任意の実数$k$に対し，円$C$は必ず
\[ \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right),\quad \left( [ツ],\ [テ] \right) \]
を通る．ただし$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}<[ツ]$である．
$k=3$のとき，この$2$点における円の接線の交点は
\[ \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right) \]
である．