$x$の関数
\[ f(x) = \int_{-2}^x (3t^2-6t-9) \, dt \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)積分を計算し，$f(x)$を求めよ．
(2)$f(-2)$の値を求めよ．
(3)方程式$f(x) = 0$の解をすべて求めよ．
(4)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(5)座標平面上の2点$(0,\ f(0)),\ (3,\ f(3))$を通る直線の方程式を求めよ．
(6)$y = f(x)$のグラフの接線のうち，(5)で求めた直線と傾きが等しいものをすべて求めよ．

曲線$y = x^3 +4x^2 -x$と曲線$y = x^2 +3$の3つの交点を$(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3)$とおく．ただし$x_1 < x_2 < x_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．

実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 |t-x| \, dt \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線で傾きが1のものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)直線$x=-1$，接線$\ell$，曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$a$は正の実数とし，座標平面上の直線$\ell: y = x$と放物線$C : y = ax^2$を考える．$C$上の点$\displaystyle (x,\ y) \ \bigl( \text{ただし} 0 < x < \frac{1}{a} \bigr)$で$\ell$との距離を最大にする点を$\mathrm{P}(s,\ t)$とおく．また$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を $d$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$d,\ s,\ t$をそれぞれ$a$の式で表せ．また点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線の傾きを求めよ．
(2)実数$a$を$a > 0$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{P}(s,\ t)$の軌跡を求め，図示せよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-1$上にない点$\mathrm{P}(a,\ b)$をとる．放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し直線$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{Q}$での$C$の接線と垂直に交わるとき，直線$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{P}$から$C$への垂線という．点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$へ$3$本の異なる垂線が引けるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．

曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}$における接線と法線が$x$軸と交わる点を，それぞれ$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$5$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外心の座標を求めよ．

だ円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1 (a > 0,\ b > 0)$の外側の点$\mathrm{P}(r,\ s)$から$C$に引いた$2$つの接線が常に直交するとき，そのような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点$\mathrm{A}(2,\ 8)$と点$\mathrm{B}(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，$2$直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の$2$次関数のグラフ$C_2$は$(2)$で求めた交点を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．