$a$を正の実数，$b$と$c$を実数とし，$2$点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$，$\mathrm{Q}(1,\ 4)$を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C$とおく．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$b$の値を求め，$c$を$a$で表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a$で表せ．
(3)放物線$C$と接線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる図形の面積が$1$に等しくなるような$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=e^x$について，次の問いに答えよ．

(1)原点から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP$_1$とする．点P$_1$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_1(a_1,\ 0)$とする．このとき，点A$_1$から$y=f(x)$のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP$_2$とする．点P$_2$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_2(a_2,\ 0)$とする．このとき，点A$_2$から$y=f(x)$のグラフへ接線を引き，その接点をP$_3$とする．さらに，点P$_3$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をA$_3(a_3,\ 0)$とする．このようにして，次々に$x$軸上の点A$_1(a_1,\ 0)$，A$_2(a_2,\ 0)$，A$_3(a_3,\ 0)$，$\cdots$を得る．このとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$の一般項$a_n$を推定し，その推定が正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．

放物線$y = x^2$ の$2$本の接線$\ell,\ m$は垂直であるとする．

(1)$\ell$の接点の座標が$(a,\ a^2)$で与えられるとき，$\ell,\ m$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell,\ m$が$y$軸に関して対称なとき，$\ell,\ m$および放物線$y = x^2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を実数とする．円$C$は点$(a,\ -a)$で直線$y = -x$を接線にもち，点$(0,\ 1)$を通るものとする．$C$の中心を $\mathrm{P}(X,\ Y)$として，以下の問いに答えよ．

(1)$X,\ Y$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y = 1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$p$を定数とする．
\[ f(x) = x^3+x^2+ px+1 \]
とおく．$y=f(x)$のグラフに傾き$1$の$2$つの異なる接線が引けるという．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とする．$(\alpha - \beta)^2$を$p$を用いて表せ．
(3)$2$つの接線の$y$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを$p$を用いて表せ．
(4)$2$つの接線の間の距離が$\displaystyle \frac{8}{27}$となるような$p$の値を求めよ．

$f(x) = e^{-x^2}$とする．曲線$y = f(x)$上の点A$(a,\ f(a))$における接線を$\ell$，原点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直な直線を$\ell^\prime$とし，$\ell$と$\ell^\prime$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(2)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とする．$\sin \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\sin \theta$を最大にする$a$の値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$\displaystyle F:y=\frac{1}{2}(x+1)^2$上の点A$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を通り，Aにおける$F$の接線に垂直な直線を$\ell$とし，$\ell$と放物線$F$との交点のうち点Aと異なる方をB$\displaystyle \left( b,\ \frac{1}{2}(b+1)^2 \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式と$b$の値を求めよ．
(2)放物線$F$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．
(3)線分ABを直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$\displaystyle y \leqq \frac{1}{2}(x+1)^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．