$f(x)=x^3-2x^2-x+1$とする．

(1)方程式$f(x)=0$は$-1<\alpha<0$，$0<\beta<1$，$1<\gamma$をみたす$3$個の実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもつことを示せ．
(2)点$(0,\ 1)$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

放物線$y=x^2$の$2$つの接線が直交しており，接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$としその$x$座標をそれぞれ$s,\ t$とする．次の問に答えなさい．

(1)$s$と$t$の関係式を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分は，接線のとり方に関係なく常に$y$軸上のある定点を通ることを示しなさい．

次の空欄$[ア]$から$[カ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$2$つの曲線
\[ C:y=x^3+ax^2 \quad \text{と} \quad D:y=a(x-b)^2 \quad (ab \neq 0) \]
について，点$\mathrm{P}$を$C$と$D$の交点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ア] \right) x+[イ] \]
で，$\mathrm{P}$における$D$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ウ] \right) x+[エ] \]
である．
また，$C$と$D$が$\mathrm{P}$で接するとき，$b,\ p$を$a$を用いて表せば，
\[ b=[オ],\quad p=[カ] \]
となる．

$m_1,\ m_2,\ p$は定数で$m_1<m_2$とする．放物線$C:y=x^2-x$が$2$つの直線$\ell_1:y=m_1x-1$，$\ell_2:y=m_2x-1$に接するとき，次の問いに答えよ．

(1)$m_1,\ m_2$の値を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2-p)$を通る$C$の接線$\ell$の方程式を$y=ax+b (m_1<a<m_2)$とする．$p$を用いて，定数$a,\ b$を表せ．
(3)$\ell$と$\ell_1$の共有点を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\ell$と$\ell_2$の共有点を$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さが最小となるときの$p$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．$2 \log_{\frac{1}{4}} (4x+1) \geqq 1+\log_{\frac{1}{2}} (11-x)$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．$\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 \int_0^1 f(t) \, dt$
(ii) $(ⅰ)$で求めた$f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -2 \right)$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii) $(ⅰ)$，$(ⅱ)$で求めた関数$f(x)$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．

(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．

放物線$y=x^2$の$2$つの接線が直交しており，接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$としその$x$座標をそれぞれ$s,\ t$とする．次の問に答えなさい．

(1)$s$と$t$の関係式を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分は，接線のとり方に関係なく常に$y$軸上のある定点を通ることを示しなさい．

関数$f(x)=mx \cos (mx)-\sin (mx)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$m$は正の整数とする．

(1)$f(x)$が極値をとる最も小さい正の実数$x$を，$m$を用いて表せ．
(2)$m=2$のとき，区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$m=3$のとき，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における曲線の接線が$y$軸と交わる点の座標$(x_0,\ y_0)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx=0$が成り立つために$m$が満たすべき条件を求めよ．

$xy$平面上の曲線$y=x^2$を$C$とする．点P$_0(2,\ 4)$における$C$の接線が直線$y=2$と交わる点をQ$_1(a_1,\ 2)$とする．次に，点P$_1(a_1,\ {a_1}^2)$における$C$の接線が直線$y=a_1$と交わる点をQ$_2(a_2,\ a_1)$とする．以下同様に，点$(a_n,\ {a_n}^2)$をP$_n$とし，P$_n$における$C$の接線が$y=a_n$と交わる点をQ$_{n+1}(a_{n+1},\ a_n)$として，P$_2,\ \text{Q}_3,\ \text{P}_3,\ \text{Q}_4,\ \cdots$を定める．次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)線分P$_n$Q$_{n+1}$，線分P$_{n+1}$Q$_{n+1}$，および$C$で囲まれる部分の面積を$n$の式で表せ．