$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$の外部の点$\mathrm{A}$からこの円に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(s,\ t)$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標が$(a,\ b)$であるとき，$a,\ b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,\ t)$を表しなさい．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．

$a,\ b$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して，$1$次関数$g(x)$が$f(x)=(x-2)g(x)$を満たしており，$g(2)=3$である．放物線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．このとき

(1)定数$a,\ b$の値は$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$y=[オ]x-[カ]$である．
(3)直線$\ell$，直線$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．

(4)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シ]}$である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[　]$，$b=-[　]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[　] \sqrt{[][]}$である．

(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[　]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[　]}{[][]}$，

$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[　]-[　] \sqrt{[][][]}}{72}$である．

直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{CA}=2$である．図のように，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{B}$における接線上に$\mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\cos \angle \mathrm{CBD}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{CD}$の$\mathrm{C}$を越える延長と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，点$\mathrm{C}$と異なる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\triangle \mathrm{BDE}$の面積を求めよ．

以下の問の$[$40$]$～$[$49$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積を考える．ただし$f(x)$は，等式
\[ f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{15}{4} \int_{-2}^0 xf(t) \, dt-\frac{4}{3} \int_{-3}^3 \{f(t)+6\} \, dt \]
を満たし，直線$\ell$は$y=|f(x)|$の$x=8$における接線である．また直線$m$は，直線$\ell$と$y=|f(x)|$の交点と点$(1,\ 3)$の$2$点を通る，傾き負の直線である．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{[$40$]}{[$41$]}x^2-[$42$]x-[$43$]$である．

(2)直線$m$の方程式は$y=-[$44$]x+[$45$]$である．
(3)$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$46$][$47$][$48$]}{[$49$]}$である．

半径$1$の円$C$上にある点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$が，円$C$と点$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}$で円$C$と接する直線を$m$とし，点$\mathrm{Q}$を通り直線$m$と垂直に交わる直線を$n$とする．さらに，直線$m$と直線$n$との交点を$\mathrm{R}$，円$C$と直線$n$とが点$\mathrm{Q}$以外で交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=1:2$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{RQ}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PSQ}$の面積を求めよ．
(3)直線$\ell$上に点$\mathrm{T}$をとる．そして，この点$\mathrm{T}$は，円$C$の外部に位置しているものとし，線分$\mathrm{TQ}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}$とする．また，点$\mathrm{T}$から円$C$に接線を引き，その接点を$\mathrm{U}$とする．このとき，線分$\mathrm{TU}$の長さを求めよ．

曲線$C:y=2x^2 (x>0)$上の点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 2{x_1}^2)$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_2$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}_2(x_2,\ 2{x_2}^2)$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_3$とし，曲線$C$上に点$\mathrm{P}_3(x_3,\ 2{x_3}^2)$を定める．以下，同様に曲線$C$上の点$\mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_4,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n$における接線と$x$軸が交わる点の$x$座標を$x_4,\ x_5,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$とする．$x_1=1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_1$および点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n(x_n,\ 2{x_n}^2)$における接線と$x$軸との交点の$x$座標$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．
(3)$x_n$を$n$の式で表せ．

$x$の3次関数$f(x)=2x^3-3x^2$について，曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=f(|x|)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$のグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．曲線$C_1$の接線のなかで点$(0,\ a)$を通る接線の本数を求めよ．
(3)曲線$C_2$のグラフの概形を描け．
(4)$b$は$\displaystyle b>\frac{1}{2}$を満たす実数とする．曲線$C_2$の接線のなかで点$(b,\ 4)$を通る接線の本数を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

実数$m$が$m>-1$を満たすとき，直線$\ell:y=mx$と放物線$C:y=x^2-x$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(2)$\ell$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めなさい．