$a$を正の実数とし，$t$を$0<t<a$を満たす実数とする．放物線$y=(x-a)^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ (t-a)^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．$C$，$y$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_1$とおき，$C$，$x$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_2$とおく．$t$が区間$0<t<a$の値をとって変化するとき，$R_1+R_2$の最小値とそのときの$t$を$a$で表せ．

図において，$\triangle \mathrm{ABC}$は半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接している．直線$\mathrm{PA}$，$\mathrm{PB}$は円$\mathrm{O}$の接線で，$\angle \mathrm{APB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}=45^\circ$である．このとき，
（図は省略）

(1)$\angle \mathrm{BAP}=[ケコ]^\circ$である．
(2)$\angle \mathrm{BCA}=[サシ]^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}=[スセソ]^\circ$である．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]+\sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．

$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)放物線$\displaystyle y=x^2-x+\frac{7}{4}$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)多項式$P(x)$を$x-2$で割ると余りは$3$であり，$x+3$で割ると余りは$-7$である．また，$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ると商は$x+1$であるが，割り切れない．この$P(x)$を$x+1$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)赤い玉$2$個，黄色い玉$3$個，青い玉$4$個が入っている袋から，よくかき混ぜて玉を同時に$3$個取り出すとき，$3$個の玉の色が$2$種類である確率は$[ウ]$である．
(4)$2$つの曲線$y=a-x^2$，$y=x^2+2ax+b$が$x=3$で共通の接線をもつような$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$である．

$a$を実数の定数とし，曲線$x^2+4y^2-2x-3=0$を$C_1$とし，円$(x-a)^2+y^2=4$を$C_2$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)曲線$C_1$は楕円$\displaystyle \frac{x^2}{[$①$]}+\frac{y^2}{[$②$]}=1$を$x$軸方向に$[$③$]$だけ平行移動した楕円を表す．
(2)曲線$C_1$と円$C_2$が共有点をもつような$a$の値の範囲は$[$④$]$である．
(3)$a=0$のとき，$C_1$と$C_2$の共有点は$2$点あり，そのうち$y$座標が正である点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標の値は$\displaystyle \frac{-1+2 \sqrt{[$⑤$]}}{3}$である．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標の値は$3+\sqrt{[$⑥$]}$であり，点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標の値は$\displaystyle \frac{8 \sqrt{10}+[$④chi$]}{13}$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{3}x-7 \leqq 2 \\ \\
\displaystyle \frac{3}{2}x+3>-\frac{3}{4}x+1
\end{array} \right. \]
の解は$[$1$]$である．
(2)$2$点$(5,\ 1)$，$(-2,\ 4)$を通る直線の方程式は$[$2$]$である．
(3)直線$y=ax-3$が放物線$y=x^2-4x+3a$の接線であるとき，定数$a$の値は$[$3$]$である．
(4)$\displaystyle \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{4}-\sqrt{6} \cos \frac{\pi}{3}$の値は$[$4$]$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{\pi}{18}-\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{\pi}{18}$の値は$[$5$]$である．
(5)赤玉が$4$つ，青玉が$3$つ，黄玉が$2$つある．これらすべての玉を$1$列に並べる並べ方は$[$6$]$通りである．これらの玉をすべて$1$つの袋に入れ，そのうち$3$つを同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率は$[$7$]$であり，赤玉$2$つ，青玉$1$つを取り出す確率は$[$8$]$である．また，すべての玉が入った袋から玉を$4$つ同時に取り出すとき，青玉が少なくとも$1$つ含まれる確率は$[$9$]$である．
(6)$2$次関数$f(x)$は，$\displaystyle x=-\frac{3}{4}$で極値をとり，$f(-1)=-2$，$f^\prime(2)=11$を満たす．このとき，$f(x)=[$10$]$であり，$\displaystyle \int_{-1}^2 f(x) \, dx$の値は$[$11$]$である．

放物線$y=-x^2+x+2$に点$(0,\ 3)$から接線を引く．このとき，次の問に答えよ．

(1)接線の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$(1)$で求めた$2$本の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

円$x^2+y^2=9$を$C$とする．円$C$が直線$y=-x+k$と異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)$k=1$のとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{AB}=4$となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$かつ$k>0$のとき，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線と点$\mathrm{B}$における円$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．また，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に，点$\mathrm{P}(4,\ 0)$から引いた$2$つの接線の接点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$，残りの点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に引いた垂線と$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．