$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

2曲線$C_1:y=(x-a)^2 \ (a \geqq 0)$，$C_2:y=-x^2+b \ (b \geqq 0)$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a=1,\ b=1$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$a=1,\ b=0$のとき，$C_1$と$C_2$の共通接線を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を1つだけもつための条件を$a,\ b$で表せ．
(4)(3)の条件のもとでの$C_1$と$C_2$の共有点の軌跡を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径1の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=2$上の点$\mathrm{P}(t,\ 2)$から円$C$に2本の接線を引き，その接点を$\mathrm{M},\ \mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{OP}$と弦$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は実数とする．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

$a<b$とする．放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{B}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(2)$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{D}(p,\ p^2)$における放物線$C$の接線を$\ell_3$とする．$\ell_1$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_2$と$\ell_3$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}$を求めなさい．
(3)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めなさい．

実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上の放物線$y=x^2$に点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$b<a^2$）から異なる$2$本の接線を引き，放物線との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$（ただし，$q<r$）とする．

(1)$2$本の接線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QPR}=45^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めて図示せよ．

曲線$C_1:y=\log x$と放物線$C_2:y=ax^2$（ただし，$a$は正の定数）を考える．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点$\mathrm{P}$において共通接線をもつとき（すなわち，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が同一のとき），$a$の値と$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$のとき，$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．

円周上の点Aにおける円の接線上に点Aと異なる点Pをとる．点Pを通る直線が点Pから近い順に2点B，Cで円と交わっている．$\angle \text{APB}$の二等分線と線分AB，ACとの交点をそれぞれD，Eとする．$\text{PA}:\text{PB}=r:1-r$とおき，$\text{BD}=s,\ \text{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．

(1)線分ADの長さを$r$と$s$で表しなさい．
(2)$\text{PB}:\text{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．
(3)(2)のとき，線分AEの長さを$t$で表しなさい．