座標平面上に，だ円$C:2x^2+y^2=1$と点P$(t,\ \sqrt{2}t) (t>0)$がある．点Pが$C$の外側にあるとして，Pから$C$へ接線を2本ひく．2つの接点を$\text{T}_1,\ \text{T}_2$とおき，$\theta = \angle \text{T}_1\text{PT}_2$とおく．次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\theta$を求めよ．
(2)2つの接線の傾きを$m_1,\ m_2$とするとき，$m_1+m_2,\ m_1m_2$を$t$で表せ．
(3)$\cos \theta$を$t$で表せ．

$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする．

(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_a$とする．

(1)直線$\ell_a$が不等式
\[ y> -x^2+2x-5 \]
の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，直線$\ell_a$が通らない点$(x,\ y)$全体の領域$D$を図示せよ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(y-x^2)(y+x^2-2x+5) \leqq 0 \\
y(y+5) \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$E$とする．$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．

座標平面上の放物線$C$を$y=x^2+1$で定める．$s,\ t$は実数とし$t<0$を満たすとする．点$(s,\ t)$から放物線$C$へ引いた接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$a$を正の実数とする．放物線$C$と直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる領域の面積が$a$となる$(s,\ t)$を全て求めよ．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) \ (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) \ (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角二等辺三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<0<b)$における接線の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{C}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角二等辺三角形となるような$a,\ b$の組をすべて求めよ．

$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y=x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB} = 45^\circ$であった．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$m$の傾きを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)$C,\ \ell,\ m$で囲まれた図形において，不等式$x \geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．