次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)不等式$x |x+2|<2x$の解は$[ア]$である．

(2)$a$を実数とする．$\displaystyle \frac{3+i}{1+ai}$の実部と虚部の和が$0$であるとき，$a=[イ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)座標平面上の点$(2,\ 1)$から円$x^2+y^2=1$へ引いた接線の方程式は$y=1$と$y=[ウ]$である．
(4)${128}^{\frac{1}{6}},\ 8^{\frac{2}{5}},\ {81}^{\frac{1}{5}}$のうち最大のものは$[エ]$である．
(5)$\cos {165}^\circ$の値は$[オ]$である．
(6)平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[カ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[キ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(7)数列$\{a_k\}$は$a_1=0$と漸化式$a_{k+1}=2a_k+1 (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \log_8 (1+a_k)=[ク]$である．
(8)数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，数字の$2$が書かれたカードが$2$枚，数字の$3$が書かれたカードが$3$枚ある．この$6$枚のカード全部を$1$列に並べるとき，数字の$2$が書かれたカードが連続して並ぶ確率は$[ケ]$である．

座標平面上に曲線$C:y=x^2 (x \geqq 0)$がある．この曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$m$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$を$t$を用いて表せ．
(5)$S:T=1:9$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2+a$（$a$は正の定数）上の点$\mathrm{P}$における接線と放物線$C_2:y=x^2$とで囲まれる図形の面積$S$は$\mathrm{P}$が$C_1$上をどのように動いても常に一定か．一定ならば$S$を$a$を用いて表せ．

曲線$C:y=x^3-tx$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^3-ta) (a<0)$における接線$\ell$が$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表すと$x=[アイ]a$である．
(2)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交するとき$([ウ]a^2-t)([エオ]a^2-t)=-1$である．
(3)$(2)$を満たす$a$の値がただ$1$つ決まるとき，$\displaystyle t=\frac{[カ]}{[キ]}$である．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を定点とし，点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$を放物線$C:y=x^2$上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AP}$と放物線$C$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$での$C$の接線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{RS}$，線分$\mathrm{SQ}$および放物線$C$の一部である曲線$\mathrm{PQ}$によって囲まれる部分の面積$T(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$T(a)$の最小値を求めよ．

次の問に答えなさい．

(1)放物線$y=x^2+9$の点$(t,\ t^2+9)$における接線と放物線$y=x^2$の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$としたとき，$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$をそれぞれ$t$で表しなさい．
(2)放物線$y=x^2+9$の点$(t,\ t^2+9)$における接線と放物線$y=x^2$とで囲まれた図形の面積は，$t$の値によらず一定であることを示しなさい．

放物線$C_1:y=2x^2$と放物線$C_2:y=(x-a)^2+b$を考える．ただし，$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．放物線$C_1$と$C_2$がともにある点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$をもつとする．また，点$\mathrm{P}$で$\ell$と直交する直線を$m$とし，$m$と放物線$C_1$，$C_2$との$\mathrm{P}$以外の交点を，それぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式，および，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき，放物線$C_1$と直線$m$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:y=\log x$および$C_2:y=\sqrt{ax}$を考える．ただし，$a$は正の定数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(t,\ \log t)$における接線$\ell_1$の方程式，および曲線$C_2$上の点$(s,\ \sqrt{as})$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．ただし，$t>0,\ s>0$である．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の両方に接する直線が存在しないための$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$y=e^{2x}$を$C$とする．$C$の接線で原点を通るものを$\ell_1$とし，$C$と$\ell_1$の接点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_1$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell_2$の方程式，および直線$\ell_2$と$y$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 部分積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$，$\displaystyle \int (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(ii) 曲線$C$，直線$\ell_2$および$y$軸で囲まれる領域を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \sin \theta)$における曲線の接線$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．