次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

点$\mathrm{A}$の座標を$(4,\ 0)$，点$\mathrm{B}$の座標を$(0,\ 3)$とし，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を通る直線$L$と点$\mathrm{A}$で接する半径$r$の円を考える．このような円は，直線$L$より上の領域と下の領域にそれぞれ存在する．直線$L$より上の領域に存在する円を$C_1$，下の領域に存在する円を$C_2$とする．また，点$\mathrm{B}$を通る円$C_1$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_1$，同じく，点$\mathrm{B}$を通る円$C_2$へのもう$1$本の接線が円と接する点を$\mathrm{P}_2$とする．
（図は省略）
(1)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$と等しいとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ア],\ [イ])$，円$C_2$の中心の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
また，点$\mathrm{P}_1$の座標は$([オ],\ [カ])$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$([キ],\ [ク])$である．
(2)円の半径$r$が線分$\mathrm{AB}$の長さ$R$の$2$倍であるとする．
円$C_1$の中心の座標は$([ケ][コ],\ [サ])$，円$C_2$の中心の座標は$([シ],\ [ス])$である．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_1$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_1$とする．同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線は，線分$\mathrm{AP}_2$を垂直二等分する．その交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
点$\mathrm{B}$と円$C_1$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[セ]}{[ソ]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_1$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ソ]}{[セ]}x+[チ]$と表すことができる．
同様に，点$\mathrm{B}$と円$C_2$の中心を通る直線の式は$\displaystyle y=\frac{[ツ][テ]}{[ト]}x+[タ]$であり，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}_2$を通る直線の式は，$\displaystyle y=-\frac{[ト]}{[ツ][テ]}x+\frac{[ナ]}{[ニ][ヌ]}$と表すことができる．
点$\mathrm{Q}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ノ]} \right)$，点$\mathrm{P}_2$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ヒ][フ]}{[ヘ]},\ \frac{[ホ]}{[ヘ]} \right)$となる．

$a$は実数の定数で，$0<a \leqq 1$とする．$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$の関係式を求めると，$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる．
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき，$k$の最小値は$[$*$す]$である．$k$が最小であるとき，$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である．
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$，$m(a)$と記すと，
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる．
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である．

放物線$y={(x-1)}^2$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ {(a-1)}^2)$，$\mathrm{B}(b,\ {(b-1)}^2)$における$2$つの接線を，それぞれ，$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$\ell_1$と直交する直線を${\ell_1}^\prime$，点$\mathrm{B}$を通り$\ell_2$と直交する直線を${\ell_2}^\prime$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a,\ b$を使って表すと，$([　],\ [　])$である．
(2)この放物線と$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を使って表すと，$[　]$である．
(3)${\ell_1}^\prime$と${\ell_2}^\prime$が直交するとき，$(2)$で求めた$S$の最小値は$[　]$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$となり，$\ell_1$，${\ell_1}^\prime$，$\ell_2$，${\ell_2}^\prime$の$4$つの直線で囲まれた部分の面積は$[　]$となる．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \beta & \sin \beta \\
\sin \beta & -\cos \beta
\end{array} \right) (0<\beta<\alpha<2\pi)$の積$AB$の$(1,\ 1)$成分は$\theta=\alpha-\beta$を用いて表すと$[　]$となり，$(1,\ 2)$成分は$\theta$を用いて表すと$[　]$となる．ここで点$\mathrm{P}_1(\sqrt{2},\ \sqrt{2})$が$AB$で表される$1$次変換によって点$\displaystyle \mathrm{P}_2 \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right)$に移るとすると$\theta=[　]$となる．このとき，${(AB)}^{25}$で表される$1$次変換によって点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となり，$((AB)^{-1})^{2013}$で点$\mathrm{P}_1$が移る点の$x$座標は$[　]$となる．
(2)関数$f(x)=(ax^2+bx)e^{-x^2}$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大値$1$をとるとする．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，$f(x)>0$を満たす範囲は$0<x<[　]$となる．この区間で関数$g(x)=\log f(x)$を考える．曲線$C:y=g(x)$の点$\displaystyle \left( 1,\ -\frac{3}{4} \right)$における接線の方程式は$y=[　]$となり，曲線$C$と直線$y=k$が共有点をもたない$k$の値の範囲は$[　]$となる．

$2$つの曲線$y=2x^2-2$と$y=2x^2-4x+2$が共通の接線をもつとき，接線の方程式は$y=[$1$]$，$2$つの接点の$y$座標は$[$2$]$であり，$2$つの曲線と接線とで囲まれた部分の面積は$[$3$]$となる．

$a$を正の実数とする．関数$y=f(x)=2x^3-6a^2x$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，関数$y=f(x)$上の点$(2,\ 4)$における接線の方程式を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが原点に関して点対称であることを示せ．
(3)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が，再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．

$a,\ p$を定数とする．曲線$C_1:x^2+y^2=2 (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$と曲線$C_2:y=a(x-p)^2$は点$(1,\ 1)$において接線が直交している．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a$と$p$の値を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

円周上の点$\mathrm{A}$での接線を$\ell$とする．直線が接線$\ell$と点$\mathrm{B}$で，円と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{BD}=4$となるように交わっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[　]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表すと$[　]$である．

$x \geqq 1$の実数$x$に対し，方程式
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\int_1^e \frac{f(t)}{t} \, dt \]
を満たす関数$f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log_e t)^2}{t} \, dt=\frac{[ア]}{[イ]}$であることに注意すると，
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\frac{[ウ]}{[エ]} \]
となる．また，曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標の値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(2)点$(e,\ f(e))$における$y=f(x)$の接線の方程式は
\[ y=[キ] e^{[クケ]} x-\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．この接線と曲線$y=f(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積は
\[ [シス]+\frac{1}{e} \left( [セ]+e^{[ソ]} \right) \]
である．

次の問いに答えなさい．

$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．

(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[　]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[　]$，半径が$[　]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[　]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[　]$の範囲にある．