放物線$C:y=x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{3}{4} \right)$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．

(1)$C$と$L$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$で$L$に接し，同時に$x$軸の正の部分に接する円を$K$とする．$K$の中心の座標を求めよ．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面上の楕円$\displaystyle K:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の$2$点
\[ \mathrm{A}(a \cos \theta,\ b \sin \theta),\qquad \mathrm{B} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ b \sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right) \]
のそれぞれにおける$K$の接線を$\ell$，$m$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,\ d)$とし，さらに$2$点$\displaystyle \mathrm{D} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ 0 \right)$，$\mathrm{E}(c,\ 0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$c$および$d$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a,\ b$を用いて表せ．

$f(x)=x(x-2)-6 |x|$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t)) (t>0)$を通る接線が曲線$y=f(x)$の$x<0$の部分と点$\mathrm{B}$で接しているとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標と接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$において曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

次式で与えられる$2$つの放物線$C_1,\ C_2$について，以下の問いに答えよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=ax^2+1 \]
ただし，$a$は$0$でない定数とする．

(1)$C_1$と$C_2$が$2$個の共有点をもつように，定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ．さらに，そのときの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$f(x)=|x^2-3x+2|$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(a,\ f(a))$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<a<2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$の共有点のうち，接点$\mathrm{A}$とは異なる$2$つの点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，$\beta-\alpha$を$a$で表せ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$のとりうる値の範囲を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．
(2)$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．
(3)$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a \leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．

関数$f(x)=ax^2+bx+c (a>0)$で定まる放物線$C:y=f(x)$と，$C$に$x=\alpha$で接する接線$\ell$，および，直線$x=\beta (\alpha<\beta)$とで囲まれた領域の面積を$S$とする．このとき，$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表しなさい．

座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．

曲線$y=\log (kx)$を$C$とする．曲線$C$，原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C$の接線$\ell$，$x$軸とで囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．