「接線」について
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国立 山形大学 2014年 第1問$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある．ただし$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第4問曲線$C_1:y=x^3-2x^2$，$C_2:y=x^2+ax+1$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第4問曲線$C_1:y=x^3-2x^2$，$C_2:y=x^2+ax+1$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C_1$の概形をかけ．
(2)曲線$C_1$と$x$軸の共有点で原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$が曲線$C_2$の接線となるような$a$の値をすべて求めよ．
(4)$a$が$(3)$で求めた値のうち最小の値をとるとき，曲線$C_2$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2014年 第4問$\displaystyle y=f(x)=\tan x \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},\ -\infty<y<\infty \right)$の逆関数を$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\tan^{-1}x \left( -\infty<x<\infty,\ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．
(ii) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．
(2)次の問に答えよ．
(i) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $(ⅰ)$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(iii) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．
(1)次の問に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．
(ii) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．
(2)次の問に答えよ．
(i) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $(ⅰ)$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(iii) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第4問関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第4問曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第3問曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t (t \geqq 0)$を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)$，$y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における$C$の接線の傾きが$\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第2問関数
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．