$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(\cos t,\ 0)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{Q}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)$，$\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),\ y(t))$の軌跡を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし，座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$，曲線$y=x^3$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3) (t>0)$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，また$\alpha=\angle \mathrm{POQ}$，$\beta=\angle \mathrm{OPQ}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いた式で表せ．
(2)$\tan \alpha$および$\tan \beta$を$t$を用いた式で表せ．
(3)$\tan \beta$が最大となるような$t$とそのときの$\beta$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

座標平面上の曲線$C:y=x^3-x$を考える．$C$上の点$(-a,\ -a^3+a)$と$(a,\ a^3-a)$ $(a>0)$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$C$との$(-a,\ -a^3+a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_1$，$\ell_2$と$C$との$(a,\ a^3-a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_1$の交点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_1$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_2$の交点を$\mathrm{Q}_2$とする．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$（$D$は積分定数）を用いてよい．

$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t}) (t>0)$における接線を$\ell$とする．さらに，直線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．