$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

以下の各問に答えよ．

(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）

$3$つの放物線$y=x^2+1$，$y=x^2$，$y=-x^2$を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$C_1$上の点$(a,\ a^2+1)$における接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めなさい．また，$C_2$と$\ell$とで囲まれる図形の面積は常に一定となることを示しなさい．
(2)$C_3$を平行移動した放物線と$C_2$とで囲まれる図形の面積が常に$\displaystyle \frac{8}{3}$となるようにしたい．このとき，$C_3$を平行移動した放物線の頂点の軌跡を求めなさい．また，その軌跡のグラフをかきなさい．

関数$y=xe^{-x}$のグラフを$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=xe^{-x}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$を用いてもよい．
(2)$C$の変曲点における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸の交点を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．

\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における$C$の接線$\ell_T$，さらに，点$\mathrm{A}$を通り，$\ell_T$に直交する直線（法線）$\ell_N$を考える．また，法線$\ell_N$に関して直線$x=a$と対称な直線を$\ell_R$とする．次の問に答えなさい．

(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．ただし，$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$a>0$のとき，$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい．
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい．

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とし，$a,\ b,\ c$は実数とする．$y=f(x)$によって表される曲線を$C$とおく．$C$は$x$軸と点$(-1,\ 0)$でのみ交わるとする．さらに，$C$の接線で傾きが$-1$のものがただ一つ存在するとし，それを$\ell$とする．

(1)$f^\prime(-1)>0$となることを示せ．
(2)$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C$と$\ell$の接点の$x$座標が$1$であるとき，$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$（ただし$t \neq 0$）に対して，$C$の$\mathrm{P}$での接線を$m$，$\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$v$とする．直線$m$に関して$v$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える．ただし，$a$は定数である．また，関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．ただし，$p \geqq 0$を満たす．以下の問題に答えよ．

(1)関数$f(x)$が単調に増加することを示せ．
(2)直線$\ell$の傾きが最小となるとき，$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ．
(3)関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする．$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき，$x$を$a$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に，接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる．$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面において，双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする．曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ．