次の問に答えよ．

(1)曲線$y=\cos (\pi x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a,\ b$を定数とする．放物線$y=a(x-b)^2$が点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{4},\ \cos \frac{9 \pi}{4} \right)$を通り，点$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線が$(1)$で求めた接線と一致するとき，$a,\ b$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対し
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\cos \pi x & \left( x \leqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \\
a(x-b)^2 & \left( x \geqq \displaystyle\frac{9}{4} \right) \phantom{\frac{[　]^{[　]}}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．$y=f(x)$のグラフをかけ．

次の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$のグラフの$x=\pi$における接線の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(2 \cos {30}^\circ,\ 2 \sin {30}^\circ)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$は$\angle \mathrm{OBA}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$を満たす．このとき$a$の値を求めよ．ただし，$a<\sqrt{3}$とする．
(3)不等式$|x+1|-3 |x-1| \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$a$を定数とする．放物線$y=ax^2$と曲線$y=\log x$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$で共通の接線をもつ．$a$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(2)$a,\ b$を定数とし，$f(x)=ax^2+(b-a)x-b$とする．$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$，$f(2)=5$が成り立つとき，$a,\ b$の値を求めよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^3-1}{x^2-1} \, dx$の値を求めよ．

放物線$C:y=x^2-x$上の点$\mathrm{P}(2,\ 2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$C$の接線のうち$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式は，$y=[ナ]x-[ニ]$である．

(2)$\ell_2$の方程式は，$\displaystyle y=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}x-\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．

(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ C$で囲まれる部分の面積は，
\[ \int_a^2 \left\{ (x^2-x)-\left( \mkakko{ナ}x-\mkakko{ニ} \right) \right\} \, dx+\int_b^a \left\{ (x^2-x)-\left( -\frac{\mkakko{ヌ}}{\mkakko{ネ}}x-\frac{\mkakko{ノ}}{\mkakko{ハ}} \right) \right\} \, dx \]
によって求められる．ただし，$\displaystyle a=\frac{[ヒ]}{[フ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

平面上に$2$つの円があり，それぞれの半径は$7$と$4$である．この$2$つの円の中心間の距離を$d$，共通接線の数を$n$とすると，$d$の値に応じて$n$の値が定まる．ただし，共通接線が存在しない場合は$n=0$とする．以下の問に答えよ．

(1)$d$が任意の値をとるとき，$n$の最大値は$[ヌ]$である．
(2)$d \leqq 11$のとき，$n$の最大値は$[ネ]$である．
(3)$d<[ノ]$のとき，$n=0$である．

関数$f(x)=2 \sqrt{1-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ 2 \sqrt{1-a^2})$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<a<1$とする．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$d^2$を$a$を用いて表せ．
(4)$d$の値が最小となるような$a$の値と，そのときの$d$の値を求めよ．

$a$を定数として，曲線$y=x^3+x^2+a$に関する次の問いに答えよ．

(1)$x=t$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線が$(1,\ 0)$を通るとき，$a$を$t$の関数として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，接線が$3$本存在する$a$の範囲を求めよ．

曲線$y=-x^2+kx+1$と$y=x^3$は点$\mathrm{P}$で接し，かつ点$\mathrm{P}$における接線が一致する．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(-[ソ],\ -[タ])$，$k=[チ]$であり，その接線の方程式は$y=[ツ]x+[テ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} \int_0^3 x^2f(t) \, dt-\frac{1}{12} \int_{-3}^0 xf(t) \, dt-2$に対して，$2$つの曲線$C_1:y=x^2+1$，$C_2:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)=px^2+qx-2$とすると，$p=[ナ][ニ]$，$q=[ヌ]$である．
(2)点$(a,\ f(a))$（ただし，$a>1$とする）における曲線$C_2$の接線$\ell$と曲線$C_1$との異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点が$(-1,\ b)$のとき，$b=[ネ]$であり，$\ell$の方程式は$y=[ノ][ハ]x+[ヒ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

座標平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}(x-t)(x-t-1)$（ただし$x>0,\ t>0$）がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(t+1,\ 0)$における接線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える．$\ell_1$の傾きは$[ア][イ]$，$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$であり，点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{[オ]}{[カ]}$である．また，$\ell_1$，$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[キ]}{[ク][ケ]} \log [コ]-\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]} \]
である．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{[ソ][タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツ]}$のときである．また，$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．