$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$，$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．

$f(x)=(x-1) |x-3|-4x+12$とする．また，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．以下に答えなさい．

(1)$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．

$a,\ b$を実数とし，
\[ f(x)=x^2+ax+1,\quad g(x)=-x^2-bx+1 \]
とおく．次の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解を持つための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$a \geqq 0,\ b \geqq 0$の範囲で，$(1)$で求めた条件をみたしながら$a,\ b$を動かす．$f(x)=0$と$g(x)=0$の共通解を$\alpha$とし，$y=f(x)$のグラフ上の点$(\alpha,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，$y=g(x)$のグラフと$\ell$で囲まれる部分の面積$S$の最小値を求めよ．

放物線$\displaystyle p:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(1,\ 1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$\ell_1$とする．

(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極小，$x=a>0$で極大になるとする．また$x=b (\neq a)$で$f(a)=f(b)$が成り立つとする．$x=b$における$y=f(x)$の接線が$y$軸と交わる点を$(0,\ c)$とおく．もし$3$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$，$(0,\ c)$を$3$頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば，接線の傾きは
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり，それぞれに対応して，$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす．

次の$2$つの放物線の共通接線の方程式を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
y=(x+2)^2-3 \\
y=-(x-2)^2+3 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]

座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$がある．この$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が$x=-1$で交わり，その点で各々の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$b,\ c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，さらに$\displaystyle x=\frac{1}{4}$で交わるときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$を$(2)$で求めた値とするとき，放物線$C_2$の$x=-1$での接線$\ell_1$，$\displaystyle x=\frac{1}{4}$での接線$\ell_2$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

曲線$C_1:y=x^3$を考える．点$\mathrm{A}(-1,\ -1)$における$C_1$の接線$\ell$は，$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$で$C_1$と交わっている．このとき，以下の設問に答えよ．ただし
\[ \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+L \quad (L \text{は積分定数}) \]
である．

(1)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)実数の定数$a,\ b,\ c$に対し，曲線$C_2:y=ax^2+bx+c$を考える．$C_2$が点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通り，さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間の点$\mathrm{E}$（$\mathrm{E} \neq \mathrm{A},\ \mathrm{E} \neq \mathrm{B}$）で$C_1$と交わるとき，$c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(3)$C_2$および$\mathrm{E}$は前問と同様とし，$c$は前問の必要十分条件を満たしている．「$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_1$，「$\mathrm{E}$，$\mathrm{B}$の間で曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれる領域の面積」を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$c$の値を求めよ．

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと，
\[ a=[セ]p,\ b=[ソ]p^2+[タ]p+[チ],\ c=[ツ]p^2+[テ] \]
である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，
\[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( [ト]p^2+[ナ]p+[ニ] \right) \]
であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は
\[ p=\frac{[ヌ]}{[ネ]}+\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \]
である．
(3)$p=1$のとき，
\[ S_1+S_2=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．