「接線」について
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国立 愛知教育大学 2015年 第2問円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線$m$が交わっているとする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$とは異なる$m$上の点$\mathrm{S}$を$\mathrm{QR}=\mathrm{QS}$を満たすように定める．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$を通る直線と円$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を中心に$\mathrm{T}$を${180}^\circ$回転した点を$\mathrm{T}^\prime$とする．
(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．
(1)$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}^\prime$，$\mathrm{R}$が同一円周上にあることを示せ．
(2)$\mathrm{QP}=\sqrt{10}$，$\mathrm{PR}=\sqrt{5}$，$\mathrm{RT}^\prime=1$，$\mathrm{T}^\prime \mathrm{Q}=\sqrt{2}$のとき，$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．さらに，四角形$\mathrm{PQT}^\prime \mathrm{R}$の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{-2x}$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$とする．次に$C$上の点$(x_1,\ f(x_1))$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$とする．以下同様に$n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots$に対して$C$上の点$(x_{n-1},\ f(x_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}_n(x_n,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x_1$を求めよ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．また$x_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 3^k x_k$を求めよ．
(1)$x_1$を求めよ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表せ．また$x_n$を$n$で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n 3^k x_k$を求めよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第3問$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える．$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．
国立 岩手大学 2015年 第5問$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第5問$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の放物線$\displaystyle y=x^2-\frac{1}{2}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
国立 山形大学 2015年 第1問二つの放物線
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,\ e)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．