座標平面上の楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とし，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を$\alpha>0$，$\beta>0$を満たす$C$上の点とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．

(1)$\ell$の方程式を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$の長さの$2$乗を$\alpha$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a>0$かつ$b<a^2$）がある．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$が，$C$および$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QM}}$となるように点$\mathrm{M}$を，また$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$となるように点$\mathrm{N}$をとる．直線$\mathrm{MN}$が$C$と交わる点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．

(1)直線$\mathrm{AP}$および直線$\mathrm{BP}$は，それぞれ$C$の接線であることを示せ．
(2)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積は，$\ell$により二等分されることを示せ．

座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

関数$f(x)={(\log x)}^2$とおく．$t$を正の数とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．
(4)$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．

$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^3+ax+b \]
と定める．また，$f(-2)=-1$，$f^\prime(-2)=9$とする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,\ -1)$における接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$\ell$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$\ell$および$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を定数とし，$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とする．媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\cos^3 t \\
y=\sin^3 t \phantom{2^{\mkakko{}}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right. \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．また，$C$の$0 \leqq t \leqq a$の部分の長さを$L$とする．

(1)$L$を$a$を用いて表せ．ただし，$L$は$\displaystyle L=\int_0^a \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$と表される．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(\cos^3 a,\ \sin^3 a)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$(2)$の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離を$M$とするとき，$\displaystyle L=\frac{3}{2}M$が成り立つことを示せ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^2+4$，$g(x)=x^2$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線と，曲線$y=g(x)$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．曲線$y=g(x)$の，点$\mathrm{A}$における接線と点$\mathrm{B}$における接線との交点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{C}$は曲線$y=x^2-4$上にあることを示せ．
(3)直線$\mathrm{AB}$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積は，$a$の値によらずに一定であることを示せ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．