座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．

$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．

$a$を実数とする．曲線$C_1:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$における接線を$\ell$とする．曲線$C_2$を$y=x^2-1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}$とする．曲線$C_3:y=-x^2+1$と$C_2$とで囲まれた部分は$\ell$によって$2$つの部分に分けられる．これらのうち，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を含む部分の面積を求めよ．

頂点が点$\mathrm{A}(0,\ 4)$で，点$\mathrm{B}(2,\ 0)$を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．

(1)この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，$x$座標が$2a (a>0)$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$\ell_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$\ell_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．
(3)この放物線と直線$\ell_2$，および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．

$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=x^2-2ax+2a^2 \]
を考える．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_2$の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線$C_1$，$C_2$の共通接線を$\ell$とし，$C_1$と$\ell$との接点の$x$座標を$p$，$C_2$と$\ell$との接点の$x$座標を$q$とする．$p$と$q$の値および$\ell$の方程式を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(3)放物線$C_1$，$C_2$および接線$\ell$によって囲まれた図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$a$を用いて表せ．
(4)点$\displaystyle \left( -\frac{a}{2},\ \frac{a^2}{4} \right)$における$C_1$の接線を$m$とする．このとき，$m$の方程式を$a$を用いて表せ．また，$m$と接線$\ell$との交点の$x$座標を求めよ．
(5)放物線$C_1$および接線$\ell$，$m$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$a$を用いて表せ．さらに，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

曲線$C:4x^2+9y^2=36 (x>0)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2},\ y_1 \right)$が第$1$象限にある．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．

(1)$y_1$の値を求めなさい．
(2)接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点の$x$座標を求めなさい．
(4)曲線$C$，接線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} (x \geqq 1)$と曲線$C:y=f(x)$について，次に答えよ．

(1)区間$x>1$で，$f(x)$は増加し，曲線$C$は上に凸であることを示せ．
(2)曲線$C$の点$(\sqrt{2},\ f(\sqrt{2}))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)$(3)$で定めた図形$D$の面積$S$を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．