点$(0,\ 5)$を通る直線$\ell$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)楕円$C$と共有点をもつ直線$\ell$の方程式をすべて求めよ．
(2)楕円$C$と直線$\ell$が接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円$C$と直線$\ell$が第一象限で接するとき，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$\{a_n\},\ \{b_n\}$を${a_n}^2-b_n \geqq 0 (n=1,\ 2,\ \cdots)$となる数列とし，$3$次関数
\[ y=x^3+3a_nx^2+3b_nx+1 \]
のグラフの接線の傾きが$0$となる接点の$x$座標のうち小さくない方を$c_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\},\ \{b_n\}$が$a_n=n$，$b_n=n^2$で与えられる数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．
(2)$\{b_n\}$を初項も公差も$0$である等差数列とする．このとき，$c_n=b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$となるための条件を求めよ．
(3)$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ公比が$r$，$r^2$の等比数列とする．このとき，$\{c_n\}$が等比数列になるための条件を求めよ．
(4)$\{a_n\}$が初項$100$，公差$-3$の等差数列で，$\{b_n\}$は初項$396$，公差$-12$の等差数列のとき，$\{c_n\}$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）

(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．

(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）

放物線$C:y=ax^2+bx+c (a>0)$を考える．$2$本の直線
\[ \ell_1:y=\frac{5}{2}x \quad \text{および} \quad \ell_2:y=-\frac{1}{2}x \]
は$C$に接するものとする．$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{P}$，$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma (\alpha \neq 0)$を定数とするとき，$2$次方程式$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$が重解を持つための条件を求めよ．
(2)$b$の値を求めよ．また，$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値にかかわらず$C$の頂点は直線$m$上にある．$m$の方程式を求めよ．
(5)$C$と$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) (0 \leqq t<2\pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

次の各問に答えよ．

(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）

(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．

(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）

$p$を正の定数として，放物線$C:y=(x-p)^2+p^2$を考える．$C$の$2$本の接線$\ell,\ m$を考え，接点の$x$座標を，それぞれ$a,\ b$とする．ただし，$a<0$，$b>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$\ell,\ m$が原点を通るとき，$a,\ b$を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell,\ m$が原点を通るとき，放物線$C$と$2$本の接線$\ell$および$m$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．

区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，関数$f(x)$と関数$g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2} \cos x,\quad g(x)=\cos \frac{x}{2}+c \]
と定義する．$c$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$x=0$以外の点で接するように$c$の値を定め，接点$(p,\ q)$を求めよ．また，そのとき，区間$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$と関数$g(x)$の大小関係を調べよ．
(2)定数$c$と接点$(p,\ q)$は$(1)$で求めたものとする．そのとき，区間$0 \leqq x \leqq p$において，$y$軸および$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$によって囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

座標平面上に，円$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$と点$\mathrm{Q}(1,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(3,\ 0)$とし，$x$軸上の点$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$を以下の条件によって決め，$\mathrm{P}_n$の座標を$(p_n,\ 0)$とする．

点$\mathrm{P}_n$から円$C$に接線を引き，その$y$座標が正である接点を$\mathrm{T}_n$とする．このとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$は同一直線上にある．（$n=1,\ 2,\ \cdots$）

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{T}_1$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{T}_n$の座標を$p_n$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}_n$の座標を$n$の式で表せ．

以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また$(3) \ (ⅱ)$に答えなさい．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す．$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし，大きい方を$\ell_2$とする．また$\ell_1$，$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．


(1)接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=[あ]$，$m_2=[い]$である．
(2)$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とするとき，$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと
\[ \left( [う],\ [え] \right) \]
である．
(3)$\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$（ただし$0<\alpha<\pi$）となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す．

(i) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$[お]$である．

(ii) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい．

(4)点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$[か]$である．