以下の各問いに答えなさい．

(1)底面の直径が$6$，高さが$9$の直円錐がある．直円錐の内側に球を配置した．直円錐の底面と側面に球が接しているとき，この内接球の半径$r$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$上に円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$が接しており，かつ，円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接している．線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_1$の接点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，円$\mathrm{O}_1$の半径を$7$，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{7}$における円$\mathrm{O}_2$の半径$r$を求めよ．ただし，円$\mathrm{O}_2$の半径は円$\mathrm{O}_1$より小さいとする．
(3)三階建ての建物がある．図のように$3$階を$\mathrm{AB}$，$2$階を$\mathrm{CD}$，$1$階を$\mathrm{EF}$としたとき，$3$階から$1$階の通路を$\mathrm{AP}$，$1$階から$2$階の通路を$\mathrm{PD}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EF}$上で動かしたとき，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の通路の長さの合計が最も短くなるときの値（$\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$）を求めよ．ただし，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=8$，$\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\mathrm{BD}=\mathrm{DF}=2$とする．
（図は省略）

座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(0,\ 2)$，$\mathrm{Q}(1,\ 0)$をとる．また，$t$を実数とし，放物線$y=(x-t)^2$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$が$\mathrm{P}$を通るときの$t$の値を求めよ．
(2)$C$が直線$\mathrm{PQ}$に接するときの$t$の値と接点の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と$C$の共有点の個数が$t$によりどのように変化するか記述せよ．

関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x$とおくとき，$A=-8^x+4^x+2^{x+2}-4$を$t$を用いて表せ．また，
\[ t^B=\frac{8^x-4^x-2^{x+2}+4}{(4^x-4)(8^x-4^x)} \]
をみたす定数$B$の値を求めよ．
(2)正の定数$k$に対して，$C=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$とおく．$C$を$t$と$k$を用いて表せ．ただし，答は因数分解せよ．
(3)曲線$y=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$と$x$軸との交点と接点の数がそれぞれ$1$個であるような$k$の値をすべて求めよ．
(4)$k>2$とする．曲線$y=k^2(-8^x+4^x+2^{x+2}-4)+(4^x-4)(8^x-4^x)$が$x$軸と異なる$3$点$(p,\ 0)$，$(q,\ 0)$，$(r,\ 0)$で交わるとき，$(p-q)(q-r)(r-p)=20$をみたす$k$の値を求めよ．ただし，$p<q<r$とする．

以下の各問に答えよ．

(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とし，$a,\ b,\ c$は実数とする．$y=f(x)$によって表される曲線を$C$とおく．$C$は$x$軸と点$(-1,\ 0)$でのみ交わるとする．さらに，$C$の接線で傾きが$-1$のものがただ一つ存在するとし，それを$\ell$とする．

(1)$f^\prime(-1)>0$となることを示せ．
(2)$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C$と$\ell$の接点の$x$座標が$1$であるとき，$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

実数全体を定義域とする関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=e^x,\quad g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2} \]
で定める．曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ e^t)$における法線に関して，直線$x=t$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$は曲線$y=g(x)$に接することを示し，その接点の$x$座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接点を$\mathrm{P}$とする．$\ell$と曲線$y=f(x)$，および$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$t$が実数全体を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x-\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$y=f(x)$の接線で傾きが$\displaystyle \frac{1}{2}$となるものを$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式と接点の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$a$は$(1)$で求めたものとする．曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0)$をとる．ただし$a>1$とする．$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$本の接線の接点を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．