放物線$C:y=x^2+a$があり，直線$\ell:y=2bx$は$C$の接線である．ただし，$a$と$b$は定数で$b>0$とする．

(1)$a$を$b$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$C$と$\ell$の接点から$x$軸へ下ろした垂線と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_2$と$(2)$で求めた$S_1$の比の値$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

$2$つの放物線$\ell_1:y=x^2$と$\ell_2:y=-2x^2+3x+k$（$k$は定数）がある．以下の問に答えよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$が接するときの$k$の値と，接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が接するとき，$\mathrm{OQ}=\mathrm{PQ}$となるような$\ell_2$上の点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

曲線$y=f(x)=x^3-x$上の点A$(a,\ f(a))$での接線を$\ell$とする．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$\ell$の接点以外の交点Bの座標$(b,\ f(b))$を求めよ．
(3)$x \leqq 2a$において，$f(x)-g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．