「接点」について
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国立 宮城教育大学 2010年 第3問関数$y=x^3-3x^2+3$について，次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフに点$(3,\ -1)$から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，その$x$座標が最小のものを$\mathrm{A}$，最大のものを$\mathrm{B}$とする．2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点を$\mathrm{P}(s,\ s^3-3s^2+3)$とする．ただし，$2-\sqrt{3}<s<2+\sqrt{3}$である．このとき，点$\mathrm{P}$と(2)で求めた直線との距離$d$を$s$で表し，$d$の最大値を求めよ．
(1)この関数のグラフに点$(3,\ -1)$から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，その$x$座標が最小のものを$\mathrm{A}$，最大のものを$\mathrm{B}$とする．2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点を$\mathrm{P}(s,\ s^3-3s^2+3)$とする．ただし，$2-\sqrt{3}<s<2+\sqrt{3}$である．このとき，点$\mathrm{P}$と(2)で求めた直線との距離$d$を$s$で表し，$d$の最大値を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第2問$a$は定数で，$a>1$とする．座標平面において，
円 \quad $C:x^2+y^2=1$
直線 \ $\ell:x=a$
とする．
$\ell$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$は，点$\mathrm{P}$によらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
円 \quad $C:x^2+y^2=1$
直線 \ $\ell:x=a$
とする．
$\ell$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$は，点$\mathrm{P}$によらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第3問$t$を実数とする．$2$つの放物線
$y=x^2+1 \qquad \cdots\cdots①$
$y=-(x-t)^2+t \qquad \cdots\cdots②$
の両方に接する$2$本の直線を$\ell_1,\ \ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$①$の接点を$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2+1)$，$\ell_2$と$①$の接点を$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2+1)$とする．次の設問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．
$y=x^2+1 \qquad \cdots\cdots①$
$y=-(x-t)^2+t \qquad \cdots\cdots②$
の両方に接する$2$本の直線を$\ell_1,\ \ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_1$と$①$の接点を$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2+1)$，$\ell_2$と$①$の接点を$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2+1)$とする．次の設問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．
私立 金沢工業大学 2010年 第5問放物線$y=x^2-5x$に直線$y=x+a$が接しているとする．ただし，$a$は定数とする．
(1)$a=[アイ]$であり，接点の座標は$([ウ],\ [エオ])$である．
(2)この放物線と直線，および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[カ]$である．
(1)$a=[アイ]$であり，接点の座標は$([ウ],\ [エオ])$である．
(2)この放物線と直線，および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[カ]$である．
私立 南山大学 2010年 第2問$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,\ -3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とする．
(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．
(1)座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．
(4)$(1)$の$S_1$と$(3)$の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．
私立 藤田保健衛生大学 2010年 第3問楕円$\displaystyle A:\frac{x^2}{4}+y^2=1$を原点を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$回転させて得た楕円を$B$とする．この回転により，点$\displaystyle \left( -\sqrt{3},\ \frac{1}{2} \right)$を接点とする$A$の接線$y=[ ]$は，$B$に対する接線$y=[ ]$に移される．
私立 北海道文教大学 2010年 第5問下の図のように円$\mathrm{O}$に内接する$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$である二等辺三角形がある．直線$\mathrm{BO}$と，$\mathrm{C}$を接点とする直線および$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\angle \mathrm{ACB}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{BDC}$を求めなさい．
（図は省略）
（図は省略）
私立 星薬科大学 2010年 第2問下図のように，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$に内接する円を$\mathrm{O}$，その接点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[ ]}$，円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ ]}}{[ ]}$，$\triangle \mathrm{DEF}$の面積は$\displaystyle \frac{[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 東京電機大学 2010年 第3問正の定数$k$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{x^3}{3}$の接線で傾きが$k^2$のものを$\ell_1,\ \ell_2$とする．$C$と$\ell_1,\ \ell_2$の接点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ，第$1$，第$3$象限にあるとする．また，$C$と$\ell_1$との共有点のうち，$\mathrm{P}$でないものを$\mathrm{R}$とする．次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$k$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた図形の面積$T$を$k$で表せ．
(3)$(2)$で求めた$T$が，$T<1$をみたすような$k$の値の範囲を求めよ．
私立 中央大学 2010年 第3問関数
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．