「接点」について
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国立 宮崎大学 2011年 第2問座標平面上において，点A$(0,\ 1)$を中心とし原点Oを通る円$C_1$について，点B$(0,\ -1)$から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pの$x$座標は正とする．さらに，$y$軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線$C_2$を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線$C_2$を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
国立 東京農工大学 2011年 第1問座標平面上に放物線$y=x^2-2x+3$と点A$(2,\ t) \ (t<3)$がある．この放物線に点Aから引いた2本の接線の接点をそれぞれP，Qとする．ただし，$x$座標の大きな方をPとする．また，2点P，Qを通る直線と$y$軸との交点をRとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pの$x$座標を$t$の式で表せ．
(2)点Rの$y$座標を$t$の式で表せ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が垂直になるような$t$の値を$t_0$とする．$t_0$を求めよ．
(4)$t=t_0$のときのA，P，Q，Rについて，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と表す．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とする．
(1)点Pの$x$座標を$t$の式で表せ．
(2)点Rの$y$座標を$t$の式で表せ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が垂直になるような$t$の値を$t_0$とする．$t_0$を求めよ．
(4)$t=t_0$のときのA，P，Q，Rについて，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と表す．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とする．
国立 室蘭工業大学 2011年 第1問$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 防衛大学校 2011年 第2問放物線$C:y=x^2$と直線$L:y=x-1$がある．$L$上の点$\mathrm{A}(a,\ a-1)$から$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$上の点$(t,\ t^2)$における接線の方程式を$y=mx+k$とするとき，$m,\ k$を$t$の式で表せ．
(2)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$の式で表せ．
(3)放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，$\displaystyle \frac{S(a)}{\beta-\alpha}$を$a$の式で表せ．
(1)$C$上の点$(t,\ t^2)$における接線の方程式を$y=mx+k$とするとき，$m,\ k$を$t$の式で表せ．
(2)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$の式で表せ．
(3)放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積を$S(a)$とするとき，$\displaystyle \frac{S(a)}{\beta-\alpha}$を$a$の式で表せ．
国立 大分大学 2011年 第2問直線$\ell_1:y=mx+3 (m>0)$が，点$\mathrm{A}(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点を$\mathrm{P}$とする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
私立 自治医科大学 2011年 第23問曲線$C:y=2x^3-9x^2-60x+140$，直線$L:y=k$（$k$は実数）について考える．曲線$C$と直線$L$は，$k=a$および$k=b$（$a<b$）（$a,\ b$ともに実数）のとき，それぞれ，$1$点で接し，その接点とは異なる$1$点で，交わるものとする．$|\displaystyle \frac{b|{16}+\frac{a}{27}}$の値を求めよ．
私立 明治大学 2011年 第4問次の空欄$[ア]$から$[ス]$に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄$[シス]$は$2$桁の数字をあらわす．
$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）
$a$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(t,\ t^2)$の間の距離を$L(t)$とする．$L(t)$は$\displaystyle a \leqq \frac{1}{2}$の場合は$t=[ア]$で最小値$[イ]$をとり，$\displaystyle a>\frac{1}{2}$の場合は$|t|=[ウ]$のとき最小値$[エ]$をとる．
$\mathrm{A}(0,\ a)$を中心とする半径$1$の円$C_1$と放物線$C_2:y=x^2$が$2$点で接しているとき$\displaystyle a=\frac{[オ]}{[カ]}$であり，接点の座標は
\[ \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right),\quad \left( -\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．このとき，円$C_1$と放物線$C_2$で囲まれた図形（下の図の灰色の部分）を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}\pi$である．
ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$における$2$つの曲線の接線が一致す
るとき，これら$2$つの曲線は$\mathrm{P}$で接しているといい，$\mathrm{P}$を接点という．
（図は省略）
私立 立教大学 2011年 第3問関数$y=-x^2+2x+2$のグラフに点$\mathrm{A}(0,\ a)$から$2$本の異なる接線が引けるとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$の$y$座標$a$が満たす条件を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線の式と接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$2$本の接線が直交するときの$a$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線と放物線で囲まれる図形を$y$軸で$2$つに分割したとき，右側の図形の面積を$S$とする．$(3)$で求めた$a$の値に対して$S$の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$の$y$座標$a$が満たす条件を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線の式と接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$2$本の接線が直交するときの$a$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{A}$を通る$2$本の接線と放物線で囲まれる図形を$y$軸で$2$つに分割したとき，右側の図形の面積を$S$とする．$(3)$で求めた$a$の値に対して$S$の面積を求めよ．
私立 関西大学 2011年 第2問点$(a,\ b) (a>0,\ b>0)$を中心とする円$C$が直線$y=2x$に点$\mathrm{P}$で接するとする．次の問いに答えよ．
(1)接点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)円$C$がさらに$y=x$にも接するとする．$b$を$a$を用いて表せ．
(1)接点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)円$C$がさらに$y=x$にも接するとする．$b$を$a$を用いて表せ．
私立 久留米大学 2011年 第5問$y=|2x-1|$のグラフと$2$点で接する半径$3$の円の中心座標は$[$11$]$であり，$2$つの接点の座標は$[$12$]$と$[$13$]$である．