$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円に，点$\mathrm{P}(4,\ 0)$から引いた$2$つの接線の接点のうち，第$1$象限にある点を$\mathrm{A}$，残りの点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AP}$に引いた垂線と$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る円の方程式を求めよ．

放物線$y=x^2+2ax+4a+12$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)放物線の頂点の座標を$a$で表せ．
(2)放物線と$x$軸が接するとき，$a$の値とその接点の座標を求めよ．
(3)放物線と$x$軸の負の部分が共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

$f(x)=x^2-ax+36$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$a=[][]$のとき，$x$が$0$から$2$まで変化する場合の$f(x)$の平均変化率が$-16$となる．また，このとき$f^\prime(u)=0$を満たす値$u$に対して$f(u)=-[][]$となる．
(2)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=0$となる．
(3)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=12a$となる．
(4)$y=f(x)$のグラフに対し，原点を通り，$x>0$の領域でこのグラフに接する接線$\ell$を引く．$a=[][]$のとき，$\ell$とこのグラフとの接点の$y$座標が$12$となる．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．

(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．

円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．

(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．

$y=x^4+2x^3-3x^2-2x+1$のグラフと$2$点で接する直線の方程式は$y=[$9$]$であり，接点の座標は$[$10$]$と$[$11$]$となる．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$x^2+y^2=4$の外部の点$\mathrm{A}$からこの円に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(s,\ t)$とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標が$(a,\ b)$であるとき，$a,\ b$を用いて，点$\mathrm{M}$の座標$(s,\ t)$を表しなさい．
(2)点$\mathrm{A}$が直線$2x+3y=12$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．

座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．