$C_1$を，中心が$(1,\ 1)$，半径が1の円とする．円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める．

円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．

$C_1$を，中心が$(1,\ 1)$，半径が1の円とする．円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める．

円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．

このとき，次の問に答えよ．

(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

次の各問に答えよ．
（図は省略）

(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．

(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径1の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=2$上の点$\mathrm{P}(t,\ 2)$から円$C$に2本の接線を引き，その接点を$\mathrm{M},\ \mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{OP}$と弦$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は実数とする．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

$k>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$は曲線$\displaystyle y=\frac{1}{k}x^2$上にあり，かつ$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$S$とし，$\mathrm{C}$をその中心とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)中心$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)円$S$の方程式を求めよ．
(3)$T$を中心$\mathrm{D}(3k,\ -2k)$，半径$k$の円とする．$T$上の点$\mathrm{P}$から円$S$へ2本の接線を引いて，その接点を$\mathrm{E},\ \mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを$t$として，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$k$と$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が円$T$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上の放物線$y=x^2$に点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$b<a^2$）から異なる$2$本の接線を引き，放物線との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$（ただし，$q<r$）とする．

(1)$2$本の接線の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QPR}=45^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めて図示せよ．