「接点」について
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私立 北里大学 2013年 第2問$f(x)=x^3-x^2+12$とおく．原点を通り，曲線$y=f(x)$に接する直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との共有点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$，$\mathrm{Q}(b,\ f(b)) (a<b)$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,\ f(c))$が$a<c<b$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となるような$c$の値を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との接点以外の共有点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との共有点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$，$\mathrm{Q}(b,\ f(b)) (a<b)$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,\ f(c))$が$a<c<b$を満たしながら動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最大となるような$c$の値を求めよ．
私立 星薬科大学 2013年 第3問$xy$平面上に$2$つの円$C_1:x^2+(y-3)^2=4$，$C_2:(x-4)^2+y^2=9$がある．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[ ]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[][]},\ -\frac{[ ]}{[][]} \right)$である．
(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[ ]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[][]},\ -\frac{[ ]}{[][]} \right)$である．
私立 久留米大学 2013年 第1問$2$つの曲線$y=2x^2-2$と$y=2x^2-4x+2$が共通の接線をもつとき，接線の方程式は$y=[$1$]$，$2$つの接点の$y$座標は$[$2$]$であり，$2$つの曲線と接線とで囲まれた部分の面積は$[$3$]$となる．
私立 同志社大学 2013年 第4問$k$は定数とし，媒介変数$t$を用いて$x=2 \sin^3 t$，$\displaystyle y=k \cos^3 t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線$S$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ．ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,\ q)$とする．$p,\ q,\ k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．
(3)$(2)$で定まる$t_0$に対し，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し，$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$，直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ．ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき，接点の座標を$(p,\ q)$とする．$p,\ q,\ k$の値を求めよ．また，そのときの$t$の値$t_0$を求めよ．
(3)$(2)$で定まる$t_0$に対し，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し，$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$，直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
公立 首都大学東京 2013年 第4問$a$は$0$でない定数とし，$b$と$c$を定数とする．$k$がすべての実数を動くとき，$xy$平面上の直線$\ell:y=kx+k^2+3k+1$はつねに放物線$C:y=ax^2+bx+c$に接するものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の接点を$\mathrm{P}$とするとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{Q}(s,\ t)$の軌跡の方程式を求めなさい．
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)直線$\ell$と放物線$C$の接点を$\mathrm{P}$とするとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$の中点$\mathrm{Q}(s,\ t)$の軌跡の方程式を求めなさい．
公立 広島市立大学 2013年 第4問曲線$y=e^{2x}$を$C$とする．$C$の接線で原点を通るものを$\ell_1$とし，$C$と$\ell_1$の接点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_1$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell_2$の方程式，および直線$\ell_2$と$y$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．
(i) 部分積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$，$\displaystyle \int (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(ii) 曲線$C$，直線$\ell_2$および$y$軸で囲まれる領域を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)直線$\ell_1$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell_2$の方程式，および直線$\ell_2$と$y$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．
(i) 部分積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$，$\displaystyle \int (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(ii) 曲線$C$，直線$\ell_2$および$y$軸で囲まれる領域を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．
国立 九州大学 2012年 第2問関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．
国立 信州大学 2012年 第1問座標平面上に，だ円$C:2x^2+y^2=1$と点P$(t,\ \sqrt{2}t) (t>0)$がある．点Pが$C$の外側にあるとして，Pから$C$へ接線を2本ひく．2つの接点を$\text{T}_1,\ \text{T}_2$とおき，$\theta = \angle \text{T}_1\text{PT}_2$とおく．次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\theta$を求めよ．
(2)2つの接線の傾きを$m_1,\ m_2$とするとき，$m_1+m_2,\ m_1m_2$を$t$で表せ．
(3)$\cos \theta$を$t$で表せ．
(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\theta$を求めよ．
(2)2つの接線の傾きを$m_1,\ m_2$とするとき，$m_1+m_2,\ m_1m_2$を$t$で表せ．
(3)$\cos \theta$を$t$で表せ．
国立 千葉大学 2012年 第6問1より小さい正の実数$a$に対して
\[ \text{円}C(a): (x+a-1)^2+(y+a-1)^2=2a^2 \]
と定める．その上で，数列$\{a_n\}$を以下の方法によって定める．
\mon[(i)] $n=1$のときは，円$C(a)$が$x$軸と接するような定数$a$の値を$a_1$とする．さらに，円$C(a_1)$と$x$軸との接点をP$_1$とし，円$C(a_1)$の中心をQ$_1$とおく．
\mon[(ii)] $n \geqq 2$のときは，円$C(a)$が直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$と接するような定数$a$の値を$a_n$とする．さらに，円$C(a_n)$と直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$との接点をP$_n$とし，円$C(a_n)$の中心をQ$_n$とおく．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_2$を求めよ．
(3)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ \text{円}C(a): (x+a-1)^2+(y+a-1)^2=2a^2 \]
と定める．その上で，数列$\{a_n\}$を以下の方法によって定める．
\mon[(i)] $n=1$のときは，円$C(a)$が$x$軸と接するような定数$a$の値を$a_1$とする．さらに，円$C(a_1)$と$x$軸との接点をP$_1$とし，円$C(a_1)$の中心をQ$_1$とおく．
\mon[(ii)] $n \geqq 2$のときは，円$C(a)$が直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$と接するような定数$a$の値を$a_n$とする．さらに，円$C(a_n)$と直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$との接点をP$_n$とし，円$C(a_n)$の中心をQ$_n$とおく．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_2$を求めよ．
(3)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第2問$C_1$を，中心が$(1,\ 1)$，半径が1の円とする．円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める．
円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．
円$C_n$は，$x$軸，$y$軸および円$C_{n-1}$に接し，円$C_n$の半径$r_n$は，円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする．
このとき，次の問に答えよ．
(1)Oを原点とし，$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき，OP$_n$の長さを$r_n$で表せ．
(2)$r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め，数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ．
(3)円$C_6$は，原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ．