点$(1,\ 1)$から，円$C:x^2+y^2-6x+8=0$に$2$本の異なる接線をひくとき，$2$つの接点の座標を，それぞれ$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a>c$である．$\displaystyle -\frac{11bd}{ac}$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2+x+2$と$D$上の点$\mathrm{P}(-2,\ 2)$がある．また，$\mathrm{P}$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)円$C$は，半径が$r$で中心が$(r,\ 2)$であり，直線$\ell$と接しているとする．$C$と$\ell$との接点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$\mathrm{A}$を通り$\ell$と垂直に交わる直線の方程式を$a$で表せ．また，その直線が$C$の中心を通ることを用いて$r$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$r$の値を求めよ．
(4)$(2)$の$C$の外側で$D$と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

$b<a^2$を満たす点$\mathrm{P}(a,\ b)$から放物線$C:y=x^2$へ$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，その接点をそれぞれ$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$とする．ただし$\alpha<\beta$にとる．放物線$C$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$を$\alpha$と$\beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$S$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が直線$y=x-2$上を動くときの$S$の最小値と，それを与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$f(x)=-x^2+4x$とする．$a>3$のとき，点$(1,\ a)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q)) (p<q)$とし，点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$を通る接線を$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell_1$の傾きを$a$を用いて表せ．
(2)$2$本の接線$\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，曲線$y=f(x)$と接線$\ell_2$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$y=-(x-1)(x+1)^2$を$C$とし，曲線$C$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{A}$，$x$軸と交わる点のうち接点でない方を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C$上にあって，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間を動く点とし，その$x$座標を$t$とおく．また，原点を$\mathrm{O}$とおく．

(1)四角形$\mathrm{OBPA}$の面積を$t$の式で表せ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$，曲線$C$と線分$\mathrm{PB}$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$を最小にする$t$の値を求めよ．

座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$x=\sqrt{7}+3$，$y=\sqrt{7}-3$のとき，$xy=[$1$]$，$x^2+y^2=[$2$]$，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$3$]$である．
(2)$(x+9)^2-(x+9)-12$を因数分解すると$[$4$]$となる．
(3)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x-3 \leqq 4x+6 \\
\displaystyle 3x+2 \leqq \frac{5x+3}{2}
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.3}
の解は$[$5$]$である．
(4)方程式$2x^2-kx+3=0$が実数解をもたないような定数$k$の値の範囲は$[$6$]$である．
(5)$a,\ b$を定数とし，$a>0$，$b>0$とする．関数$y=ax^2$のグラフに，$y$軸上の点$(0,\ -b)$から接線を引く．$2$つの接線のうち，傾きが正であるものを$\ell$とし，接線$\ell$と放物線$y=ax^2$の接点を点$\mathrm{P}$とする．このとき，接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{P}$の座標を$a$と$b$を用いて表すと，$\ell$の方程式は$[$7$]$，$\mathrm{P}$の座標は$[$8$]$となる．
(6)$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，点$(0,\ 5)$を通り，$C$上の点$(-1,\ f(-1))$における接線は，$y=-11x+3$である．このとき，$f(x)=[$9$]$である．また，放物線$C$の$x \leqq 2$の部分と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$[$10$]$である．
(7)方程式$\displaystyle 5^{2x-3}-25^{x-1}+125^{\frac{2x}{3}}=121$の解は$[$11$]$である．

次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

放物線$y=-x^2+1$を$C_1$，また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする．ここで$k>0$とし，$t$は任意の実数値をとるものとする．$t$の値が変化するに従い，$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる．この直線を$L$とする．

(1)$k=1$の場合を考える．このとき，直線$L$の方程式は，$y=[ア]x+[イ]$である．また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える．$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合，接点の座標は
\[ (x,\ y)=([オ],\ [カ]) \]
および
\[ (x,\ y)=\left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは，$[サ]<t<[シ]$のときである．このとき，それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすれば，
\[ \alpha+\beta=[ス]t+[セ],\quad \alpha\beta=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ] \]
である．また，$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は，
\[ S(t)=\frac{1}{[ト]} ([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p,\quad \text{ただし} p=\frac{[ネ]}{[ノ]} \]
である．この面積は$\displaystyle t=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}$をとる．