円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$（$a$は定数）は，$2$つの点で接している．

(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である．
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり，$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である（複号同順）．
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である．

原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．

点$(p,\ 0)$を通り，楕円$4x^2+y^2=4$に接する直線の方程式は$y=[$15$]$および$y=[$16$]$で，接点の$x$座標は$x=[$17$]$である．また，$p=[$18$]$のとき，$2$つの接線は直交する．ここで，$p$は実数で$p>2$とする．

関数$y=f(x)=x^2-4x$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$移動したときのグラフを表す関数を$y=g(x)$とする．また直線$L$を$y=ax-3a-7$（$a$は定数）とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=g(x)$を表す式を求めよ．
(2)$y=f(x)$と直線$L$が異なる$2$点で交わるための条件を求めよ．
(3)$y=g(x)$と直線$L$が接するとき，接点の座標を求めよ．

図のように半径$2$の円$\mathrm{O}$と半径$5$の円$\mathrm{O}^\prime$があり，$\mathrm{OO}^\prime=6$である．円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}$と$\mathrm{O}^\prime$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とし，その延長と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{MS} \cdot \mathrm{MT}$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{ST}$の長さを求めよ．

放物線$p_1:y=x^2-4x+5$と，その上の点$\mathrm{P}(4,\ 5)$を考える．

(1)傾きが$-2$で，放物線$p_1$に接する直線$\ell$の方程式は
\[ y=-2x+[$17$] \]
であり，放物線$p_1$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$([$18$],\ [$19$])$である．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り，頂点の$y$座標が$6$であるような放物線の方程式は
\[ y=-x^2+[$20$]x-[$21$] \]
または
\[ y=-\frac{1}{[$22$]}(x^2-[$23$][$24$]x-[$25$]) \]
である．
$(2)$で求めた放物線のうち，方程式$y=-x^2+[$20$]x-[$21$]$で定まるものを$p_2$とし，放物線$p_2$の頂点を$\mathrm{R}$とする．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$][$29$]}$であり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$[$30$]$である．
(4)$2$つの放物線$p_1$と$p_2$で囲まれた図形の面積は$[$31$]$である．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$x$の関数$y=x^2-2x$で表される曲線を$C$とする．また，定数$m$に対し$y=mx-m-2$で表される直線を$\ell$とする．以下の問に答えなさい．

(1)定数$m$によらず，$\ell$は定点$\mathrm{A}([ミ],\ [ム])$を通る．
(2)点$\mathrm{A}$から曲線$C$に$2$本の接線を引く．このとき，$2$つの接点の$x$座標は$[メ]$と$[モ]$である．ただし，$[メ]<[モ]$とする．
(3)点$\mathrm{A}$から引いた$2$本の接線と曲線$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．
(4)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4}{3}$となるのは，$m=\pm [ヨ] \sqrt{[ラ]}$のときである．

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2-3$，$C_2:y=x^2-6x+9$と，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線$\ell$について次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$との交点の座標は$([$42$],\ [$43$])$である．
(2)$C_1$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$44$]}{[$45$]},\ -\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]} \right)$であり，$C_2$と$\ell$との接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[$49$]}{[$50$]},\ \frac{[$51$]}{[$52$]} \right)$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$]}$である．