「指数関数」について
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私立 成城大学 2016年 第2問感染症の流行の初期では，時刻$t (t \geqq 0)$における感染者数$n_{\, t}$は指数関数$n_{\, t}=n_{\, 0} a^t$で表される．ここで，$n_{\, 0}$は時刻$t=0$における感染者数，$a$は正の定数である．ある感染症では，$n_{\, 0}=2$で，$t=2$のとき感染者数は$5$人であった．$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}5=0.699$として，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)感染者数が初めて$100$人を超える時刻$t$を求めよ．ただし，答えは整数で求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)感染者数が初めて$100$人を超える時刻$t$を求めよ．ただし，答えは整数で求めよ．
私立 京都薬科大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．
(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．
公立 福岡女子大学 2015年 第1問指数関数について，以下の問に答えなさい．
(1)$a>0,\ a \neq 1$とする．実数$M$に対し，$a^t \geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．
(2)実数$M$に対して，実数$t_1,\ t_2$は
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
M-2 &=& 2^{t_1} \\
M &=& 2^{t_2}
\end{array} \right. \]
を満たすとする．このとき，$t_1+t_2 \geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(3)$(2)$の$2$つの式を満たす$t_1,\ t_2$に対して，$t_2-t_1 \geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(1)$a>0,\ a \neq 1$とする．実数$M$に対し，$a^t \geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．
(2)実数$M$に対して，実数$t_1,\ t_2$は
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
M-2 &=& 2^{t_1} \\
M &=& 2^{t_2}
\end{array} \right. \]
を満たすとする．このとき，$t_1+t_2 \geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(3)$(2)$の$2$つの式を満たす$t_1,\ t_2$に対して，$t_2-t_1 \geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．
公立 福岡女子大学 2015年 第1問指数関数について，以下の問に答えなさい．
(1)$a>0,\ a \neq 1$とする．実数$M$に対し，$a^t \geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．
(2)実数$M$に対して，実数$t_1,\ t_2$は
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
M-2 &=& 2^{t_1} \\
M &=& 2^{t_2}
\end{array} \right. \]
を満たすとする．このとき，$t_1+t_2 \geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(3)$(2)$の$2$つの式を満たす$t_1,\ t_2$に対して，$t_2-t_1 \geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(1)$a>0,\ a \neq 1$とする．実数$M$に対し，$a^t \geqq M$となるように実数$t$の範囲を求めなさい．
(2)実数$M$に対して，実数$t_1,\ t_2$は
\[ \left\{ \begin{array}{rcl}
M-2 &=& 2^{t_1} \\
M &=& 2^{t_2}
\end{array} \right. \]
を満たすとする．このとき，$t_1+t_2 \geqq 3$となるように$M$の範囲を求めなさい．
(3)$(2)$の$2$つの式を満たす$t_1,\ t_2$に対して，$t_2-t_1 \geqq 4$となるように$M$の範囲を求めなさい．
国立 山梨大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答は小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売り値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．
(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答は小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売り値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第2問指数関数$y=2^x$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．
国立 北海道大学 2010年 第4問$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．