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九州大学 国立 九州大学 2016年 第3問
袋の中に,赤玉が$15$個,青玉が$10$個,白玉が$5$個入っている.袋の中から玉を$1$個取り出し,取り出した玉の色に応じて,以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える.


\mon[(操作)] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする.赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動,青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動,白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し,取り出した球は袋に戻す.

最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き,この操作を繰り返して行う.指定した回数だけ操作を繰り返した後,コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)操作を$n$回繰り返したとき,白玉を$1$度だけ取り出したとする.このとき,到達点となり得る点をすべて求めよ.
(2)操作を$n$回繰り返したとき,到達点となり得る点の個数を求めよ.
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$,$(-1,\ 1)$,$(-1,\ -1)$,$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える.操作を$n$回繰り返したとき,到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする.$P_3$を求めよ.
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第1問
次の各問の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ.

(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は,$[ア]$または$[イ]$である.ただし,$[ア]<[イ]$とする.
(2)(指定範囲外からの出題だったため,全員正解とした.)
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき,$\mathrm{BC}=[ア]$である.
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である.
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である.
広島国際学院大学 私立 広島国際学院大学 2012年 第5問
下図のように,円と$2$つの直線によって指定される領域がある.
(図は省略)

(1)斜線の領域を表す不等式を求めなさい.ただし,境界線を含むものとする.
(2)斜線の領域の面積$S$を求めなさい.
新潟大学 国立 新潟大学 2011年 第2問
数直線上の動点Aがはじめ原点にある.動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で指定された長さを移動するものとする.$n$秒後に動点Aが原点に戻る確率を$p_n$とする.ただし,$n$は自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき,$p_1,\ p_2$を求めよ.
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき,$p_n$を求めよ.
(3)動点Aが1秒ごとに正の向きに3または負の向きに1移動するとき,$p_n$を求めよ.
新潟大学 国立 新潟大学 2011年 第2問
数直線上の動点Aがはじめ原点にある.動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で指定された長さを移動するものとする.$n$秒後に動点Aが原点に戻る確率を$p_n$とする.ただし,$n$は自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき,$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ.
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに2または負の向きに1移動するとき,$p_6$を求めよ.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2010年 第4問
図に示す正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある.点$\mathrm{P}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあって, \\
サイコロを投げて,$1$または$2$の目が出たとき,点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する.一方,$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき,点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する. \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし,この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す.以下の問いに答えよ.
\img{410_1079_2010_2}{45}


(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$,続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする.このとき,$\mathrm{A}$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ.
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ.
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ.
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