一辺の長さが$1$の正方形の紙片$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=t$となるようにとる．ここで$t$は$0<t<1$をみたす実数とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{R}$をとって，線分$\mathrm{QR}$を折り目として，この紙片を折ると，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$が重なるとする．また線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)線分$\mathrm{QB}$と線分$\mathrm{RC}$の長さを$t$で表せ．

放物線と直線に関して，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2$と直線$y=k (k>0)$で囲まれた部分の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．
(2)放物線$y=1-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を直線$\displaystyle y=a \left( 0<a<\frac{1}{2} \right)$を折り目として折り返す．

(i) 重なっていない部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(ii) 重なっていない部分のうちで，$x$軸の下側にある部分の面積を$S^\prime$とする．$S=2S^\prime$となる$a$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$（メートル）の正三角形の紙がある．この三角形の$3$頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$を次のようにとる．

点$\mathrm{Q}$を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{P}$に重なる．

ここで，$\mathrm{BP}=x$（メートル），$\mathrm{PQ}=y$（メートル）とおくとき，
\[ x^2-([テ]-y)x+[ト]-[ナ]y=0 \]
が成り立つ．これを$x$についての方程式とみると，$0 \leqq x \leqq 1$であるから
\[ [ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]} \leqq y \leqq 1 \]
となる．したがって，$\mathrm{AQ}$が最小となるのは，$y=[ニ]+[ヌ] \sqrt{[ネ]}$のときであり，このとき，$\angle \mathrm{BAP}=[ノ]^\circ$である．ただし，$[ネ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$\angle \mathrm{C}$を直角とし斜辺の長さが$1$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{CQ}=x$とする．点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として，$\triangle \mathrm{APQ}$を元の三角形に折り重ねる．折り重ねた$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{PQ}$と$\triangle \mathrm{ABC}$が重なってできる図形の面積を$T$とする．次の各問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$と$x$で表せ．
(2)面積$T$を$\theta$と$x$で表せ．
(3)面積$T$の値が最大となるときの$\triangle \mathrm{ABC}$の形状と点$\mathrm{Q}$の位置を求めよ．
（図は省略）