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佐賀大学 国立 佐賀大学 2014年 第4問
箱の中に$1$から$4$までの番号が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードが入っている.また,手元に$0$の番号が書かれたカードをもっているとする.箱の中からカードを$1$枚引き,手元のカードと比較して番号の小さい方のカードを箱に戻して,大きい方のカードを手元に残すという試行を繰り返す.このとき,次の問に答えよ.

(1)$3$回繰り返して手元のカードが$4$である確率を求めよ.また,$n$回繰り返して手元のカードが$4$である確率を求めよ.
(2)$3$回繰り返して手元のカードが$2$である確率を求めよ.また,$n$回繰り返して手元のカードが$2$である確率を求めよ.
(3)$n$回繰り返して手元のカードが$3$である確率を求めよ.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2013年 第2問
$n$個のボールと,$1$から$n$までの番号がふられた$n$個の空の箱がある.また,$1$から$n$の番号が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている.いま,以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える.

手順$1$ \quad 袋からカードを$1$枚無作為に取り出して,手順$2$に進む.
手順$2$ \quad 手順$1$で取り出したカードに書かれている番号の箱が,
\begin{itemize}
空ならば,そこにボールを$1$つ入れて,手順$3$へ進む.
空でなければ,カードを袋に戻さず手元に置き,手順$1$に戻る.
\end{itemize}
手順$3$ \quad 手元のすべてのカードを袋に戻す.この時点で,
\begin{itemize}
すべての箱にボールが入っていれば終了する.
空の箱が$1$つでもあれば,手順$1$に戻る.
\end{itemize}

また,$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$について,$k-1$個目のボールを箱に入れ終わった状態(ただし,$k=1$のときは,はじめの状態とする)の後に,
\begin{itemize}
次のボール,すなわち$k$個目のボールを箱に入れるまでにちょうど$i$枚のカードを袋から取り出す確率を$P_k(i)$とし,
$i$枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を$Q_k(i)$とする.ただし,$Q_k(0)=1$とする.
\end{itemize}
このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$n=4$のとき$P_3(1)$,$P_3(2)$,$Q_3(2)$をそれぞれ求めよ.
(2)$Q_k(i)$を$P_k(i+1)$,$P_k(i+2)$,$\cdots$,$P_k(k)$を用いて表せ.ただし,$0 \leqq i \leqq k-1$とする.
(3)$k-1$個目のボールを箱に入れてから$k$個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値$E_k$は$Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots +Q_k(k-1)$であることを示せ.
(4)不等式
\[ E_k \leqq \frac{n}{n-k+1} \]
が成り立つことを示せ.
(5)不等式
\[ E_1+E_2+\cdots +E_n \leqq n+n \log n \]
が成り立つことを示せ.
法政大学 私立 法政大学 2012年 第1問
Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を,Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち,札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である.両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き,表にして数字を比べる.ただし,$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで,両者の数字が等しいときは引き分けとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$n=1$とする.

(2)引き分けとなる確率を求めよ.
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり,その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき,Aの得点の期待値を求めよ.

(4)$n=2$とする.Aの札の数字の合計と,Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ.
(5)$n=1$とする.数直線上にある点Pを,Aが勝ったときは正の方向に2だけ,Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす.ただし,引き分けのときは動かさない.こうした試行を4回繰り返すとき,最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ.なお,AとBが引いた札は,試行が終わるごとに各々の手元に戻し,よくかき混ぜて次の試行を行うものとする.
広島市立大学 公立 広島市立大学 2010年 第4問
AとBの二人が,$1,\ 2,\ 3,\ 4$の番号が1つずつ書かれた4枚のカードをそれぞれ持っているとする.お互いが自分のカードのうちから1枚を選んで同時に出す.次に,手元に残された3枚からまた1枚を選んで同時に出す.これをお互いの手持ちのカードがなくなるまでくり返す.この4回の試行について,次の問いに答えよ.

(1)4回の試行のすべてで,AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ.
(2)4回の試行のうちちょうど2回で,AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ.
(3)4回の試行のうちちょうど1回で,AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ.
(4)4回の試行で,AとBが出したカードの番号が1回も一致しない確率を求めよ.
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「手元」とは・・・

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