「扇形」について
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国立 熊本大学 2013年 第3問半径$1$，中心角$\theta (0<\theta<\pi)$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第3問半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形$\mathrm{PQRS}$について考える．頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は弧$\mathrm{AB}$上に，残りの$2$頂点はそれぞれ辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．
(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第1問半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．長方形$\mathrm{PQRS}$は，扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形の中で面積が最大のものである．このとき，次の問いに答えよ．
(1)頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が弧$\mathrm{AB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とするとき，$\alpha$を$\theta$で表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を$\theta$の三角比を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{PQRS}$が正方形であるときの$\theta$の値を求めよ．
(1)頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が弧$\mathrm{AB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とするとき，$\alpha$を$\theta$で表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を$\theta$の三角比を用いて表せ．
(3)長方形$\mathrm{PQRS}$が正方形であるときの$\theta$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解を$\alpha$，$\beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$と$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の方程式$3^{4x}+3^{2x+2}-52=0$を解け．
(3)面積$a$の扇形の弧の長さが$b$であり，$\displaystyle \frac{b}{a}=4$が成り立つとき，この扇形の半径$r$を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2+5x+3=0$の$2$つの解を$\alpha$，$\beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$と$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$x$の方程式$3^{4x}+3^{2x+2}-52=0$を解け．
(3)面積$a$の扇形の弧の長さが$b$であり，$\displaystyle \frac{b}{a}=4$が成り立つとき，この扇形の半径$r$を求めよ．
私立 南山大学 2013年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．
(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．
私立 広島国際学院大学 2012年 第4問下図のように，中心角$60^\circ$の扇形$\mathrm{OAB}$と正三角形$\mathrm{OCD}$，$\mathrm{OAB}$があり，$\triangle \mathrm{OCD}$は扇形$\mathrm{OAB}$に外接し，扇形の半径は$r$とする．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{OCD}$の面積$S_2$を求めなさい．
(3)扇形$\mathrm{OAB}$の面積$S_3$を求めなさい．ここで，円周率は$\pi$として計算しなさい．
(4)$S_1<S_3<S_2$より$\pi$の範囲を求めなさい．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{OCD}$の面積$S_2$を求めなさい．
(3)扇形$\mathrm{OAB}$の面積$S_3$を求めなさい．ここで，円周率は$\pi$として計算しなさい．
(4)$S_1<S_3<S_2$より$\pi$の範囲を求めなさい．
私立 西南学院大学 2012年 第3問原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．
私立 東京理科大学 2012年 第2問$s,\ t$を実数とし，$0<s<1$とする．座標空間内の$3$点
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．
点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．
(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
\mathrm{P}((2-s)+s \cos t,\ 0,\ (2-s)+s \sin t), \\ \\
\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ \frac{2-s}{\sqrt{2}}+\frac{s}{\sqrt{2}} \cos t,\ (2-s)+s \sin t \right), \\ \\
\mathrm{R}(0,\ 0,\ (2-s)+s \sin t)
\end{array} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を示せ．
点$\mathrm{Q}$は，点$\mathrm{R}$を中心とし$\mathrm{RP}$を半径とする円周上に存在する．このとき，弦$\mathrm{PQ}$に対する弧$\mathrm{PQ}$と，半径$\mathrm{RP}$および半径$\mathrm{RQ}$で囲まれる扇形を$C$とする．ただし，$C$の中心角$\angle \mathrm{PRQ}$は$\pi$以下とする．
(3)$C$の面積を$s$と$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{R}$の$z$座標の動く範囲を$s$を用いて表せ．
(5)$t$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_1$を$s$を用いて表せ．
(6)$t$が$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{2}$の範囲を動くとき，扇形$C$が通過する部分の体積$V_2$を$s$を用いて表せ．
(7)上の$(5)$，$(6)$の$V_1$，$V_2$に対して，$s$が$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq s \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くときの$V_1-V_2$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．
私立 日本女子大学 2012年 第3問点$\mathrm{H}$を中心，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし，点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える．ただし，線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする．右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である．左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する．この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$，母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする．さらに，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる．左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$，$\mathrm{AE}=3$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）
私立 北海道薬科大学 2012年 第3問円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．
(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．
(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．