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早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第1問
$[ア]$~$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき,$f(x)=[イ]$である.
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする.数列$\{a_n\}$を次で定める.
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき,$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である.
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第1問
次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$,$a<b$をみたすとき,
\[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \]
とおく.ただし,$e$は自然対数の底とする.
\[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \]
が成立するように$a$を定めよ.

(2)行列$A=
\begin{pmatrix}
\;\;\; a & b \;\;\;\; \\
\;\;\; c & d \;\;\;\;
\end{pmatrix}
$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし,かつ,ある行列
\[ B =
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & \beta \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}^{-1}
\]
に対して$AB=BA$をみたしている.ただし$\alpha \neq \beta$とする.このような行列$A$をすべて求めよ.

(3)$c$を正の実数として,漸化式
\[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える.このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ.
(4)実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき,$xy$平面の直線
\[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \]
が通る範囲を$H$とする.$H$の内,直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり,
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である.
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である.
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち,黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする.ここで,$a_1=1$,$a_2=2$である.
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある.頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2010年 第1問
次の[\phantom{ア]}にあてはまる数,数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である.
(2)ある囲碁大会で,$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて,男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う.その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき,同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である.
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で,その定義域は$[オ]$である.
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