数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=5, b_1=3, \\
\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
また，自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とするとき，自然数$\ell$について
\[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell, b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \]
が成立することを，$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ．
(3)$n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について
\[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \]
が成立することを示せ．
(4)$2$以上の自然数$n$について
\[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \]
が成立することを示せ．

関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について
\[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \]
が成立することを示せ．
(3)$b>a>0$について
\[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \]
が成立することを示せ．
(4)自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて
\[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \]
とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．

3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．

3次関数$y=f(x)$が$x=1-\sqrt{3}$と$x=1+\sqrt{3}$において極値をとり，点$(3,\ f(3))$における$y=f(x)$のグラフの接線が直線$y=4x-27$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，$f(x) \geqq 3x^2-14x$が成立することを示せ．

関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．

(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[　]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[　]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[　]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[　]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[　]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[　]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[　]$である．この楕円の長軸の長さは$[　]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[　]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[　]$となる．

平面上に点$\mathrm{O},\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \cdots,\ \mathrm{A}_{100}$がある．ただし，同じ点があってもよい．また，平面上の点$\mathrm{P}$に対して，
\[ f(P) = \sum_{i=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{PA}}_i|^2 \]
とする．また，$f(\mathrm{P})$の最小値を$m$とし，平面上の点$\mathrm{C}$は$f(\mathrm{C})=m$を満たすとする．
このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ．
(2)次の条件
\[ (*) \qquad \sum_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_i \mathrm{A}_j}|^2 \right) = \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_j}|^2 + \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_j}|^2 + \cdots+ \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_{100} \mathrm{A}_j}|^2=4000 \]
が成立しているときの$m$の値を求めよ．
(3)(2)における条件$(*)$が成立しているとき，集合
\[ \left\{A_i \ \; \bigg| \ \; |\overrightarrow{\mathrm{CA}_i}| \geqq 2,\ 1 \leqq i \leqq 100,\ i \text{は整数} \right\} \]
の要素の個数の最大値を求めよ．

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$，$a<b$をみたすとき，
\[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \]
とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \]
が成立するように$a$を定めよ．

(2)行列$A=
\begin{pmatrix}
\;\;\; a & b \;\;\;\; \\
\;\;\; c & d \;\;\;\;
\end{pmatrix}
$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列
\[ B =
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & \beta \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}^{-1}
\]
に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \neq \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．

(3)$c$を正の実数として，漸化式
\[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ．
(4)実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線
\[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \]
が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ．

$f(x)=x^3-48x,\ g(x)=9x+k$（$k$は定数）がある．以下の問に答えなさい．

(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが$3$つの異なる交点を持つ必要十分条件は$|k|<[ケ][コ]\sqrt{[サ][シ]}$である．
(2)$y=f(x)$は，$x=a$のとき，極大値$b$をとる．また，$g(a)=c$とする．
$\log_{10}b-7\log_{10}c+7=0$が成立するのは，$k=[ス][セ]$のときである．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフは，$3$つの異なる交点をもち，それらの$x$座標の値は，小さい順に並べると$-[ソ],\ -[タ],\ [チ]$となる．

$3$つの$2$次正方行列
\[ A= \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
a & 1
\end{array}
\right),\quad B= \left(
\begin{array}{cc}
x & y \\
0 & z
\end{array}
\right),\quad C= \left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-2 & 3
\end{array}
\right) \]
があり，$AB=CA$が成立している．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)$a,\ x,\ y,\ z$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を用いて，$A^{-1}$を求めよ．
(3)(1)で求めた$x,\ y,\ z$の値を用いて，自然数$n$に対し，$B^n$を求めよ．
(4)自然数$n$に対し，$C^n$を求めよ．