次の空欄$[$38$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．

次の空欄$[ア]$，$[イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$a,\ b$について，命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$[ア]$であり，裏は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$，$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=[エ]$と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$[オ]$である．
(4)$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き，その中で最大の数を$X$とするとき，$X$の期待値は$[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$[キ]$であり，最小値は$[ク]$である．
(6)方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$[ケ]$である．
(7)等差数列をなす$3$つの数がある．これらの和が$1$で，平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき，$3$つの数は$[コ]$である．
(8)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると，$[サ]$である．

$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

平面上の2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$はそれぞれの大きさが1であり，また平行でないとする．次の問いに答えよ．

(1)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して，不等式
\[ 0<|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2 \leqq (1+t)^2 \]
が成立することを示せ．
(2)$t \geqq 0$であるような実数$t$に対して$\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{2t^2 \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|^2}$とおき，$f(t)=|\overrightarrow{p}|$とする．このとき，不等式
\[ f(t) \geqq \frac{2t^2}{(1+t)^2} \]
が成立することを示せ．
(3)$f(t)=1$となる正の実数$t$が存在することを示せ．

関数$f_n(x) \ (x \geqq 0)$を
\[ f_1(x)=|x-1|,\quad f_{n+1}(x)=|f_n(x)-(n+1)| \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f_2(x)$と$y=f_3(x)$のグラフをかけ．
(2)$a_n=f_n(0)$とおく．数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一般項を求めよ．
(3)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$に対し，
\[ f_{n-i}(\alpha)=in-\frac{i(i-1)}{2} \quad (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1) \]
が成立することを証明せよ．
(4)$f_n(\alpha)=0$を満たす$\alpha$を$n$の式で表せ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上で原点$\mathrm{O}$を通り傾きが$\tan \theta$の直線を$\ell$とし，行列
\[ \left( \begin{array}{cc}
\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\
\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta
\end{array} \right) \]
の表す$1$次変換を$f$とする．座標平面上に$2$点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$がある．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OP}$が直線$\ell$と垂直であるとき，$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を求めよ．
(2)$1$次変換$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| \leqq |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$が成り立つことを示せ．さらに等号が成立する場合を調べよ．
(3)$1$次変換$f$による点$(1,\ 1)$の像を$\mathrm{S}$とする．このとき$|\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$が最大となる$\theta$と最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

2次正方行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$のうち，次の3条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすもの全体の集合を$M$とする．

(i) $a,\ b,\ c,\ d$はすべて整数
(ii) $b+c=0$
(iii) $a-b-d=0$

また$E$を2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A,\ B$がともに$M$の要素であるとき，それらの積$AB$も$M$の要素であることを示せ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるとき，$ad-bc=1$が成立することを示せ．
(3)行列$A$とその逆行列$A^{-1}$がともに$M$の要素であるような$A$をすべて求めよ．
(4)自然数$n$について，$M$の要素であって$A^n=E$を満たすような行列$A$の全体の集合を$S_n$とする．$S_n$の要素の個数がちょうど3となる$n$をすべて求めよ．

$m,\ n$を自然数として，関数$f(x)=x^m(1-x)^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．

(i) $g(0)=g(1)=0$
(ii) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$

(4)$m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき
\[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \]
が成立することを示せ．

数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の間に次の漸化式が成立する．
\[ x_{n+1}=2x_n,\quad y_{n+1}=3x_n+y_n,\quad z_{n+1}=x_n-2y_n+3z_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$(x_1,\ y_1)=(2,\ 0)$に対して，一般項$x_n$と$y_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$が定数$c,\ d,\ r,\ s$に対して，関係$a_{n+1}=ra_n+cs^n+d$で定義されるとき，$f_n=ps^n+q \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が次式を満たすように定数$p$と$q$を定めよ．ただし，$r \neq s$，$r \neq 0,\ 1$，$s \neq 0,\ 1$とする．
\[ a_{n+1}+f_{n+1}=r(a_n+f_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(3)初項$(x_1,\ y_1,\ z_1)=(2,\ 0,\ 0)$に対して，一般項$z_n$を求めよ．