「成立」について
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公立 高崎経済大学 2016年 第2問ある等差数列の第$n$項を$a_n$とするとき，
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 筑波大学 2015年 第2問半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．
(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．
(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．
私立 早稲田大学 2015年 第4問$n$は任意の自然数，また，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について$a_k$は$0 \leqq a_k \leqq k$を満たす整数である．このとき，以下の問に答えよ．
(1)数学的帰納法により，次の等式を示せ．
\[ 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots +n \cdot n!=(n+1)!-1 \]
(2)$2015=a_1 \cdot 1!+a_2 \cdot 2!+\cdots +a_n \cdot n!$が成り立っているとき，$n$を求めよ．ただし，$a_n \neq 0$とする．
(3)$(2)$の等式を成立させる$a_1,\ a_2,\ \cdots, a_n$を求め，答のみ記入せよ．
(1)数学的帰納法により，次の等式を示せ．
\[ 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots +n \cdot n!=(n+1)!-1 \]
(2)$2015=a_1 \cdot 1!+a_2 \cdot 2!+\cdots +a_n \cdot n!$が成り立っているとき，$n$を求めよ．ただし，$a_n \neq 0$とする．
(3)$(2)$の等式を成立させる$a_1,\ a_2,\ \cdots, a_n$を求め，答のみ記入せよ．
私立 自治医科大学 2015年 第2問$\log_2a+\log_2b=1$，$\log_ca+\log_cb=3$（$a,\ b,\ c$は正の実数，$c \neq 1$）がともに成立しているとき，$2 \log_c (a+b)$の最小値を求めよ．
私立 学習院大学 2015年 第3問次の条件を満たすような実数$a$の範囲を求めよ．
（条件）：どんな実数$x$に対しても
\[ x^2-3x+2>0 \quad \text{または} \quad x^2+ax+1>0 \]
が成立する．
（条件）：どんな実数$x$に対しても
\[ x^2-3x+2>0 \quad \text{または} \quad x^2+ax+1>0 \]
が成立する．