「成立」について
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国立 香川大学 2010年 第1問$\triangle$ABCにおいて，次の等式が成立することを示せ．
(1)$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
(2)$\displaystyle \cos A+\cos B+ \cos C=1+ 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(3)$\displaystyle \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C$
(1)$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
(2)$\displaystyle \cos A+\cos B+ \cos C=1+ 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(3)$\displaystyle \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C$
国立 岐阜大学 2010年 第1問$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
国立 岐阜大学 2010年 第4問次の設問(\,I\,)と(\,II\,)に答えよ．
\mon[(\,I\,)] $0< \theta < \pi$かつ$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$とする．$\tan^2 \theta>\sin \theta$を満たす$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．
\mon[(\,II\,)] $a,\ b,\ c,\ R,\ \beta$を$a>0,\ b>0,\ c>1,\ R>0,\ 0 \leqq \beta<2\pi$を満たす実数とする．また，任意の実数$\theta$に対して，次の等式が成立しているとする．
\[ \log_c \frac{a^{\sin \theta}}{b^{\cos \theta}}=R \sin (\theta+\beta) \]
(1)$a,\ b,\ c$を用いて，$R,\ \sin \beta,\ \cos \beta$を表せ．
(2)$a=c,\ b=c^{\sqrt{3}}$が成り立つとき，$\beta$の値を求めよ．
\mon[(\,I\,)] $0< \theta < \pi$かつ$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$とする．$\tan^2 \theta>\sin \theta$を満たす$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．
\mon[(\,II\,)] $a,\ b,\ c,\ R,\ \beta$を$a>0,\ b>0,\ c>1,\ R>0,\ 0 \leqq \beta<2\pi$を満たす実数とする．また，任意の実数$\theta$に対して，次の等式が成立しているとする．
\[ \log_c \frac{a^{\sin \theta}}{b^{\cos \theta}}=R \sin (\theta+\beta) \]
(1)$a,\ b,\ c$を用いて，$R,\ \sin \beta,\ \cos \beta$を表せ．
(2)$a=c,\ b=c^{\sqrt{3}}$が成り立つとき，$\beta$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2010年 第1問$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
国立 大分大学 2010年 第1問円周率$\pi$に関して次の不等式が成立することを証明せよ．ただし，数値$\pi=3.141592 \cdots$を使用して直接比較する解答は0点とする．
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
国立 大分大学 2010年 第3問平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第3問平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
国立 鳥取大学 2010年 第3問定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第2問定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第4問$a,\ k$は定数であり，$0<k<1$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．
(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．